青岛大学-816高等代数【2015】考研真题
2023-06-21
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青岛大学 2015 年硕士研究生入学考试试题
科目代码：816； 科目名称：高等代数 （共 2 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
一、（15 分）求下行列式的值
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
n
nn
n n n n
n
a a a a
D a a a a
a n a n a n a n
.
二、（15 分）求一个次数最低且首项系数为
1
的多项式
()fx
，使得
()fx
同
时满足两个条件：（1）
21x
整除
()fx
；（ 2）
32
1xx
整除
( ) 1fx
.
三、（15 分）证明：向量组
12
, , , m
线性无关当且仅当向量组
1 1 2 1 2
, , , m
线性无关.
四、（15 分）讨论当
a
取何值时，线性方程组
3
2
2
ax y z a
x ay z
x y az
无解？有唯一解？有无穷多解？有解时求其解.
五、（15 分）设
A
是
n
级方阵且
2
AE
，其中
E
表示
n
级单位矩阵，证明:
( ) ( )R A E R A E n
, 其中
()RA
表示矩阵
A
的秩.
六、（15 分）设
3
级方阵
A
的三个特征值为
1 2 3
2, 2, 1
，对应于
1 2 3
,,
的三个特征向量分别为
1 2 3
0 1 1
1 , 1 , 1 ,
1 1 0
求矩阵
A
.
七、（15 分）设
V
是实数域 上所有形如
0a
ab
的矩阵构成的集合，即
0,
a
V a b
ab
，
（1）验证
V
关于矩阵的加法和数与矩阵乘法构成实数域 上一个线性
空间；
（2）求
V
的一组基和维数.
摘要：
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1青岛大学2015年硕士研究生入学考试试题科目代码：816；科目名称：高等代数（共2页）请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效一、（15分）求下行列式的值.二、（15分）求一个次数最低且首项系数为的多项式，使得同时满足两个条件：（1）整除；（2）整除.三、（15分）证明：向量组线性无关当且仅当向量组线性无关.四、（15分）讨论当取何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有解时求其解.五、（15分）设是级方阵且，其中表示级单位矩阵，证明:,其中表示矩阵的秩.六、（15分）设级方阵的三个特征值为，对应于的三个特征向量分别为求矩阵.七、（15分）设是实数域上所有形如的矩阵构成的...
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