2016年考研数学一真题及答案
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2016 全国研究生入学考试考研数学（数学一）解析
本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1~8 小题，每小题 4分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）若反常积分
+
0
1
(1 )
a b dx
x x
收敛，则（ ）。
A.
1a
且
1b
B.
1a
且
1b
C.
1a
且
1a b
D.
1a
且
1a b
【答案】C
【解析】
+ 1 +
0 0 1
1 1 1
= +
(1 ) (1 ) (1 )
a b a b a b
dx dx dx
x x x x x x
，而
1
0
1
adx
x
当
1a
时收敛，
而此时
(1 )b
x
不影响，
+ +
1 1
1 1
=1
(1 ) (1 )
a b a b b
dx dx
x x xx
，而
+
1
1
a b dx
x
当
1a b
时
收敛，此时
1
(1 )b
x
不影响，因此选择 C.
（2）已知函数
2( 1), 1
( ) ln , 1
x x
f x x x
，则
( )f x
的一个原函数是（ ）。
A.
2
( 1) , 1
( ) (ln 1), 1
x x
F x x x x
B.
2
( 1) , 1
( ) (ln 1) 1, 1
x x
F x x x x
C.
2
( 1) , 1
( ) (ln 1) 1, 1
x x
F x x x x
D.
2
( 1) , 1
( ) (ln 1) 1, 1
x x
F x x x x
【答案】D
【解析】对函数
( )f x
做不定积分可得原函数，
1
ln ln lnxdx x x x dx x x x C
x
，
因此选择 D.
（3）若
2 2 2 2 2 2
(1 ) 1 , (1 ) 1y x x y x x
是微分方程
' ( ) ( )y p x y q x
的两
个解，则
( )q x
=（ ）。
A.
2
3 (1 )x x
B.
2
3 (1 )x x
C.
2
1
x
x
D.
2
1
x
x
【答案】A
【解析】将
2 2 2
(1 ) 1y x x
代入微分方程可得：
2 2 2 2
2
4 (1 ) ( )[(1 ) 1 ] ( )
1
x
x x p x x x q x
x
而将
2 2 2
(1 ) 1y x x
代入微分方程可得：
2 2 2 2
2
4 (1 ) ( )[(1 ) 1 ] ( )
1
x
x x p x x x q x
x
将这两个式子相加可得：
2 2 2
8 (1 ) 2 ( )(1 ) 2 ( )x x p x x q x
两个式子相减可得：
2
2
22 ( ) 1 0
1
xp x x
x
因此可得
2 2 2 2 2 2
2
( ) 4 (1 ) ( (1 ) 4 (1 ) (1 ) 3 (1 )
1
x
q x x x x x x x x x x
x
）
故选择 A.
（4）已知函数
, 0
( ) 1 1 1
, , 1, 2,
1
x x
f x x n
n n n
L
，则（ ）。
A.
0x
是
( )f x
的第一类间断点
B.
0x
是
( )f x
的第二类间断点
C.
( )f x
在
0x
处连续但不可导
D.
( )f x
在
0x
处可导
【答案】D
【解析】
0
1
lim ( ) lim ( ) lim 0 (0)
n n
x
f x f x f
n
，因此在
0x
处连续，
0
lim '( ) 1
x
f x
，而
0 0
10
( ) (0)
lim '( ) lim lim
n
x x
f x f n
f x x x
，而
1 1
1x
n n
，因此
1
1 1
( 1)
n
n n
n x n
，而左右两边的极限均为 1，因此
0
lim '( ) 1
x
f x
，故在
0x
可导，
选择 D.
（5）设
,A B
是可逆矩阵，且
A
与
B
相似，则下列结论错误的是（ ）。
A.
T
A
与
T
B
相似
B.
1
A
与
1
B
相似
C.
T
A A
与
T
B B
相似
D.
1
A A
与
1
B B
相似
【答案】C
【解析】因为
A
与
B
相似，因此存在可逆矩阵
P
，使得
1
P AP B
，于是有：
1 1 1
( ) ( ) ( )
T T T T T T T T
P AP P A P P A P B
，即
~
T T
A B
，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( )P AP P A P P A P B
，因此
1 1
~A B
，
1 1 1 1 1 1
( )P A A P P AP P A P B B
，因此
1 1
~A A B B
，
而C选项中，
1T
P A P
不一定等于
T
B
，故 C不正确，选择 C.
（6）设二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 4 4 4f x x x x x x x x x x x x
，则
1 2 3
( , , ) 2f x x x
在
空间直角坐标系下表示的二次曲面为（ ）。
A.单叶双曲面
B.双叶双曲面
C.椭球面
D.柱面
【答案】B
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2016全国研究生入学考试考研数学（数学一）解析本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若反常积分+01(1)abdxxx收敛，则（）。A.1a且1bB.1a且1bC.1a且1abD.1a且1ab【答案】C【解析】+1+001111=+(1)(1)(1)abababdxdxdxxxxxxx，而101adxx当1a时收敛，而此时(1)bx不影响，++1111=1(1)(1)ababbdxdxxxxx...
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