2015年考研数学一真题及答案

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一、选择题:1 8小题,每小题 4分,共32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项

符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答

．

题

．

纸

．

指定位置上.

(1)设函数 f(x)在



,



内连续，其中二阶导数 f(x)的图形如图所示，则曲线

yf(x)的拐点的个数为 ( )

(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3

【答案】（C）

【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，

并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由

( )f x



的图形可得，

曲线

( )y f x

存在两个拐点.故选（C）.

(2)设

1 1

( )

2 3

  

x x

y e x e

是二阶常系数非齐次线性微分方程

 

   x

y ay by ce

的一

个特解，则( )

(A)

3, 2, 1    a b c

(B)

3, 2, 1   a b c

(C)

3, 2, 1   a b c

(D)

3, 2, 1  a b c

【答案】（A）

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程

的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估

系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.

【解析】由题意可知，

、

e

为二阶常系数齐次微分方程

0y ay by

 

  

的解，

所以 2,1 为特征方程

20r ar b  

的根，从而

(1 2) 3a    

，

1 2 2b  

，从而原方

程变为

3 2 x

y y y ce

 

  

，再将特解

y xe

代入得

1c 

.故选（A）

(3) 若级数





n

条件收敛，则

3x

与

3x

依次为幂级数

( 1)







n

na x

的( )

(A) 收敛点，收敛点

2015年考研数学一真题及答案

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(B) 收敛点，发散点

(D) 发散点，发散点

【答案】（B）

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.

【解析】因为







条件收敛，即

2x

为幂级数

( 1)n

a x









的条件收敛点，所以

( 1)n

a x









的收敛半径为 1，收敛区间为

(0, 2)

.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故

( 1)n

na x









的收敛区间还是

(0, 2)

.因而

3x

与

3x

依次为幂级数

( 1)n

na x









的

收敛点，发散点.故选（B）.

(4) 设

是第一象限由曲线

2 1xy 

，

4 1xy 

与直线

y x

，

3y x

围成的平面

区域，函数

 

,f x y

在

上连续，则

 

f x y dxdy 



( )

(A)

 

3 sin 2

4 2sin 2

cos , sind f r r rdr









  

 

(B)

 

sin 2

42sin 2

cos , sind f r r rdr









  

 

(C)

 

3 sin 2

4 2sin 2

cos , sind f r r dr









  

 

(D)

 

sin 2

42sin 2

cos , sind f r r dr









  

 

【答案】（B）

【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分

【解析】先画出 D的图形，

所以

( , )

f x y dxdy 



sin 2

42sin 2

( cos , sin )

d f r r rdr









  

 

，

故选（B）

(5) 设矩阵

1 1 1

1 2

1 4

A a

 

 

 

 

 

，

b d

 

 

 

 

 

，若集合

 

1,2 

，则线性方程组

Ax b

有

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无穷多解的充分必要条件为 ( )

(A)

,a d 

(B)

,a d 

(C)

,a d 

(D)

,a d 

【答案】(D)

【解析】

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

( , ) 1 2 0 1 1 1

1 4 0 0 ( 1)( 2) ( 1)( 2)

A b a d a d

a d a a d d

   

   

   

   

   

   

，

由

( ) ( , ) 3r A r A b 

，故

1a

或

2a

，同时

1d

或

2d

.故选（D）

(6)设二次型

 

1 2 3

, ,f x x x

在正交变换为

x Py

下的标准形为

2 2 2

1 2 3

2 y y y

，其中

 

1 2 3

, ,P e e e

，若

 

1 3 2

, , Q e e e

，则

 

1 2 3

, ,f x x x

在正交变换

x Qy

下的标准形为

( )

(A)

2 2 2

1 2 3

2 y y y

(B)

2 2 2

1 2 3

2 y y y

(C)

222

1 2 3

2 y y y

(D)

2 2 2

1 2 3

2 yyy

【答案】(A)

【解析】由

x Py

，故

2 2 2

1 2 3

( ) 2

T T T

f x Ax y P AP y y y y    

且

2 0 0

0 1 0

0 0 1

P AP

 

 

 

 



 

由已知可得:

1 0 0

0 0 1

0 1 0

Q P PC

 

 

 

 



 

故有

2 0 0

( ) 0 1 0

0 0 1

T T T

Q AQ C P AP C

 

 

  

 

 

所以

2 2 2

1 2 3

( ) 2

T T T

f x Ax y Q AQ y y y y

    

.选（A）

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摘要：

第1页共12页一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.(1)设函数f(x)在,内连续，其中二阶导数f(x)的图形如图所示，则曲线yf(x)的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()fx的图形可得，曲线()yfx存在两个拐点.故选（C）.(2)设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解...

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