2017年考研数学二真题及答案
2023-06-28
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本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1～8小题，每小题 4分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）若函数
1 cos , 0,
( )
, 0,
xx
f x ax
b x
在
0x
，处连续，则（ ）
（A）
1
2
ab
（B）
1
2
ab
（C）
0ab
（D）
2ab
【答案】（A）
【解析】由连续的定义可知：
0 0
lim ( ) lim ( ) (0)
x x
f x f x f
，其中
0
(0) lim ( )
x
f f x b
，
2
0 0 0
1( )
1 cos 1
2
lim ( ) lim lim 2
x x x
x
x
f x ax ax a
，从而
1
2
ba
，也即
1
2
ab
，故选（A）。
（2）设二阶可导函数
( )f x
满足
(1) ( 1) 1, (0) 1f f f
且
( ) 0f x
，则（ ）
（A）
1
1( ) 0f x dx
（B）
1
1( ) 0f x dx
（C）
0 1
1 0
( ) ( )f x dx f x dx
（D）
0 1
1 0
( ) ( )f x dx f x dx
【答案】（B）
【解析】由于
( ) 0f x
，可知其中
( )f x
的图像在其任意两点连线的曲线下方，也即
( ) (0) [ (1) (0)] 2 1
f x f f f x x
，
(0,1)x
，因此
1 1
0 0
( ) (2 1) 0f x dx x dx
。同
理
( ) (0) [ (0) ( 1)] 2 1
f x f f f x x
，
( 1,0)x
。 因 此
0 0
1 1
( ) ( 2 1) 0f x dx x dx
，从而
1
1( ) 0f x dx
，故选（B）。
（3）设数列
n
x
收敛，则（ ）
（A）当
lim sin 0
n
nx
时，
lim 0
n
nx
（B）当
lim( ) 0
n n
nx x
时，
lim 0
n
nx
（C））当
2
lim( ) 0
n n
nx x
时，
lim 0
n
nx
（D）当
lim( sin ) 0
n n
nx x
时，
lim 0
n
nx
2017年考研数学二真题及答案
【答案】（D）
【解 析 】 设
lim n
nx a
， 则
limsin sin
n
nx a
， 可 知 当
sin 0a
， 也 即
a k
，
0, 1, 2,k
时，都有
lim sin 0
n
nx
，故（A）错误。
lim( )
n n
nx x a a
， 可 知 当
0a a
， 也 即
0a
或 者
1a
时 ， 都 有
lim( ) 0
n n
nx x
，故（B）错误。
2 2
lim( )
n n
nx x a a
， 可 知 当
20a a
， 也 即
0a
或 者
1a
时 ， 都 有
2
lim( ) 0
n n
nx x
，故（C）错误。
lim( sin ) sin
n n
nx x a a
，而要使
sin 0a a
只有
0a
，故（D）正确。
（4）微分方程
2
4 8 (1 cos 2 )
x
y y y e x
的特解可设为
*y
（ ）
（A）
2 2 cos 2 sin 2
x x
Ae e B x C x
（B）
2 2 cos 2 sin 2
x x
Axe e B x C x
（C）
2 2 cos 2 sin 2
x x
Ae xe B x C x
（D）
2 2 cos 2 sin 2
x x
Axe xe B x C x
【答案】（A）
【解析】齐次方程的特征方程为
24 8 0
，特征根为
2 2i
，将非齐次方程拆分
为：
2
4 8 (1)
x
y y y e
与
2
4 8 cos 2 (2)
x
y y y e x
。
方 程
(1)
的特解可以设为
2
1
x
y Ae
， 方 程
(2)
的 特 解 可 以 设 为
2
2( cos 2 sin 2 )
x
y xe B x C x
，由解的叠加原理可知：方程
(1)
饿任意解和方程
(2)
的任
意 解 之 和 即 为 原 方 程 的 解 ， 则 原 方 程 的 特 解 可 以 设 为
2 2
2( cos 2 sin 2 )
x x
y Ae xe B x C x
，故选（A）。
（5）设具有一阶偏导数，且对任意的都有,,则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（D）
【解析】由于
,0
f x y
x
，可知
,f x y
关于单调
x
递增，故
0,1 1,1f f
。又由于
,0
f x y
y
，可知
,f x y
关于单调
y
递减，故
1,1 1, 0f f
，从而
0,1 1, 0f f
，
故选（D）。
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：米)处，图中实线表示甲的速度曲
线(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分的面积的数值依次为 10,20,3.计时
开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
【解析】从
0
到
0
t
时刻，甲乙的位移分别为
0
1
0( )
tV t dt
与
0
2
0( )
tV t dt
要使乙追上甲，则有
0
2 1
0[ ( ) ( )]
tV t V t dt
，由定积分的几何意义可知，
25
2 1
0[ ( ) ( )] 20 10 10V t V t dt
，可知
025t
，故选（C）。
（7）设
A
为3阶矩阵，
1 2 3
, , )P = (
为可逆矩阵，使得
1
0 0 0
0 1 0
0 0 2
P AP
，则
1 2 3 )A(
（ ）
（A）
1 2
（B）
2 3
（C）
2 3
（D）
1 2
【答案】（B）
【解析】
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3 2 3
1
( ) ( , , ) 1
1
1
( , , )( , , ) ( , , ) 1
1
0 0 0 1
( , , ) 0 1 0 1
0 0 2 1
0
( , , ) 1 2
2
A A
A
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本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数1cos,0,(),0,xxfxaxbx在0x，处连续，则（）（A）12ab（B）12ab（C）0ab（D）2ab【答案】（A）【解析】由连续的定义可知：00lim()lim()(0)xxfxfxf，其中0(0)lim()xffxb，20001()1cos12lim()limlim2xxxxxfxaxaxa，从而12ba，也即12ab，故...
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