2018年考研数学二真题及答案
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2023-06-28
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1
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e
x
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的
1
（1）
若lim(exax2bx)x21，则（ ）
x
0
A. a1,b 1
2
B. a1,b 1
2
C. a1,b1
2
D. a 1,b1
2
（2）
下列函数中，在 x0处不可导的是（ ）
A.
f(x)
xsin x
B.
f(x)
xsin
C.
f(x)cos xD.
f(x)cos
1,
x0
2ax,
x 1
（3）设函数 f(x)1,
x0
g(x)x,
1x0若f(x)g(x)在R
上连续，则（ ）
xb,
x0
A. a3,b1
B. a3,b2
C. a 3, b1
D. a 3, b2
（4） 设函数
f(x)
在
[0,1]
上二阶可导，且
0
f(x)dx
0
则（ ）
A.当f'(x)0时， f( ) 0
2
B. 当f''(x)0时 ， f( ) 0
2
C. 当f'(x)0时 ， f( ) 0
2
D. 当f''(x)0时 ， f( ) 0
2
(1x)2
1x
（5）
设M
2
21x
dx ，N
2dx ，K
2
2(1
2
cos x)dx 则求 M,N,K的
大小关系（ ）
A.
MNK
B.
MKN
C.
KMN
D.
KNM
0 2x2
（6）
1dx x
1 2x2
(1xy)dy 0dx x
(1xy)dy （ ）
x
x
2018年考研数学二真题及答案
2
A.
5
3
B.
5
6
C.
7
3
1 1 0
D.
7
6
（7）
下列矩阵中，与矩阵 0 1 1相似的为（ ）
0 0 1
1 1 1
1 0 1
A. 0 1 1
0 0 1
B. 0 1 1
0 0 1
1 1 1
1 0 1
C. 0 1 0
0 0 1
D.0 1 0
0 0 1
（8）.设
A
，
B
为
n
阶矩阵，记
r(X)
为矩阵
X
的秩，（
X Y
） 表示分块矩阵，则（ ）
A. r(A AB)r(A)B. r(A BA)r(A)
C.
r(A B)max{r(A),r(B)}
D.
r(A B)r(AT
BT)
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
（9）
lim x2[arctan(x1) arctan x] .
x
（10）
曲线 yx22ln x在其拐点处的切线方程是 .
1
（11）dx _.
5
x
2
4x
3
xcos
3
t
（12）
曲线
ysin
3
t
在t对应点的曲率为 .
4
（13）
设函数 zz(x,y)由方程ln zez1xy 确定，则
1
(2, )
2
.
（
14
）设
A
为
3
阶矩阵，
1
,
2
,
3
为线性无关的向量组，若 A
1
2
1
2
3
,
A
2
2
2
3
，A
3
2
3
,则 A 的实际特征值为 .
三、解答题：15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）
z
x
3
y1cost
求不定积分e2xarctan
ex1dx
（16）
已知连续函数 f(x)满足 xf(t)dt xtf (xt)dt ax2
0 0
（I）
求f(x)
（II）
若f(x)在区间[0,1]上的平均值为 1，求a的值。
（17 ） 设平面区域 D由曲线 xtsin t
(0 t2
)与x轴围成，计算二重积分
(x2y)dxdy
D
（18）已知常数 kln 2 1，证明(x1)(xln2x2kln x1) 0
（19）
一根绳长 2m，截成三段，分别折成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长
时所得的面积总和最小，并求该最小值。
（20）
已知曲线 L:y4x2(x0) ，点O(0, 0),点A(0,1) ，设 P 是 L 上的动点，S 是直线
9
OA 与直线 AP 及曲线 L 所围图形的面积，若 P 运动到点（3，4）时沿 x 轴正向的速度
是 4，求此时 S 关于时间 t 的变化率。
（21） 设数列
{x}
，
x
0
，
x e
x
n1
e
x
n
1, n1, 2,…
.证：数列
{x}
收敛，并求
lim x
.
n1n
nn
n
（22）
设实二次型 f(x,x,x)(xxx)2(xx)2(xax )2,其中 a 是参数，
1 2 3 1 2 3 2 3 1 3
（I）
求f(x1,x2,x3)0的解
（II）
求f(x1,x2,x3)的规范形
1 2 a 1a2
（23）
已知 a 是常数，且矩阵 A1 3 0 可经初等变换化为矩阵 B0 1 1
（I）
求 a
2 7
a
1 1 1
（II）
求满足 AP B的可逆矩阵 P
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1111112ex一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1（1）若lim(exax2bx)x21，则（）x0A.a1,b12B.a1,b12C.a1,b12D.a1,b12（2）下列函数中，在x0处不可导的是（）A.f(x)xsinxB.f(x)xsinC.f(x)cosxD.f(x)cos1,x02ax,x1（3）设函数f(x)1,x0g(x)x,1x0若f(x)g(x)在R上连续，则（）xb,x0A.a3,b1B.a3,...
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