2016年考研数学二真题及答案
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2023-06-28
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本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1～8小题，每小题 4分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答
．
题
．
纸
．
指定位置上.
（1）设a1x
cos x1
,a2xln
13x
,a33x11，当 x0时，以上 3个
无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）
A
a1,a2,a3
B
a2,a3,a1
C
a2,a1,a3
D
a3,a2,a1
【答案】：B
【解析】 12
2
1
~xa
，
5
6
2~a x
，
xa 3
1
~
3
，则
321 ,, aaa
从低阶到高阶排列应为
132 ,, aaa
。
（2）已知函数
2 1 , 1
ln , 1
x x
f x x x
，则
f x
的一个原函数是（ ）
2
1 , 1
( ) ln 1 , 1
x x
A F x x x x
2
1 , 1
( ) ln 1 1, 1
x x
B F x x x x
2
1 , 1
( ) ln 1 1, 1
x x
C F x x x x
2
1 , 1
( ) ln 1 1, 1
x x
D F x x x x
【答案】：
D
【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数
F x
在
1x
连续，而
A
、
B
、
C
中
的函数在
1x
处均不连续，故选
D
。
（3）反常积分
1
0
2
1
1x
e dx
x
与
1
2
0
1
2x
e dx
x
的敛散性为（ ）
A
1
发散，
2
收敛
B
1
收敛，
2
发散
C
1
收敛，
2
收敛
D
1
发散，
2
发散
【答案】B
【解析】
1
10
11
0
2
xx edxe
x
，故
1
收敛。
2016年考研数学二真题及答案
0
11
02
1xx edxe
x
，由于
1
0
lim x
x
e
，故
2
发散
（4）设 函 数
( )y f x
在
- + ，
内连续，其导数的图像，如图所示，则
（A）函数
( )f x
有 2 个极值点，曲线
( )y f x
有 2 个拐点
（B）函数
( )f x
有 2 个极值点，曲线
( )y f x
有 3 个拐点
（C）函数
( )f x
有 3 个极值点，曲线
( )y f x
有 1 个拐点
（D）函数
( )f x
有 3 个极值点，曲线
( )y f x
有 2 个拐点
【答案】：（B）
【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性
不一样，故有 2 个极值点，3 个拐点.
（5）设函数
i
y f x
1, 2i
具有二阶连续导数，且
0
i
f x
1, 2i
，若两条曲线
i
y f x
1, 2i
在点
0 0
,x y
处具有公切线
y g x
，且在该点处曲线
1
y f x
的曲
率大于曲线
2
y f x
的曲率，则在点
0
x
的某个邻域内，有（ ）
1 2
A f x f x g x
2 1
B f x f x g x
1 2
C f x g x f x
2 1
D f x g x f x
【答案】A
【解析】 ：由于
( ) 0
i
f x
可知，
)(
1xf
与
)(
2xf
均为凸函数，可知
)(
1xfy
，
)(
2xfy
的 图 像 均 在 其 切 线 下 方 ， 故
)()(),( 21 xgxfxf
， 由 曲 率 公 式
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
1
1
))((1
)(
,
))((1
)(
xf
xf
k
xf
xf
k
， 由
21 kk
可 知 ，
1 0 2 0
( ) ( )f x f x
， 则
)()( 21 xfxf
.
（6）已知函数
,
x
e
f x y x y
，则
（A）
' ' 0
x y
f f
（B）
' '
+ 0
x y
f f
（C）
' '
x y
f f f
（D）
' '
x y
f f f
【答案】： （D）
【解析】
' ' ' '
2 2
, ,
x x x
x y x y
e e e
f f f f f
x y x y x y
.
（7）设
,A B
是可逆矩阵，且
A
与
B
相似，则下列结论错误的是（ ）
A
T
A
与
T
B
相似
B
1
A
与
1
B
相似
C
T
A A
与
T
B B
相似
D
1
A A
与
1
B B
相似
【答案】：
C
【解析】：因为
A
与
B
相似，所以存在可逆矩阵
P
，使得
1,P AP B
两端取转置与逆可得：
1
T T T T
P A P B
,
1 1 1
P A P B
,
1 1 1
P A A P B B
,可知
A
、
B
、
D
均
正确，故选择
C
。
（8）设二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
, , 2 2 2f x x x a x x x x x x x x x
的正负惯性指数分别
为
1, 2
，则
（A）
1a
（B）
2a
（C）
-2 1a
（D）
1 2a a 或
【答案】（C）
【解析】二次型矩阵为
1 1
1 1
1 1
a
a
a
，其特征值为
1, 1, 2a a a
，可知
1 0, 2 0a a
，
即
2 1a
，故选择（C）
二、填空题：914 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上.
（9）曲线
)1arctan(
1
2
2
3
x
x
x
y
的斜渐近线方程为
_________
.
摘要：
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本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）设a1xcosx1,a2xln13x,a33x11，当x0时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）Aa1,a2,a3Ba2,a3,a1Ca2,a1,a3Da3,a2,a1【答案】：B【解析】1221~xa，562~ax，xa31~3，则321,,aaa从低阶到高阶排列应为132,,aaa。（2）已知函数21,1ln,1xxfxxx，则...
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