2017年考研数学一真题及答案
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2023-06-28
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本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1～8小题，每小题 4分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）若函数
1 cos , 0
( )
, 0
xx
f x ax
b x
，在
0x
处连续，则（ ）
（A）
1
2
ab
（B）
1
2
ab
（C）
0ab
（D）
2ab
【答案】（A）
【解析】由连续的定义可知：
0 0
lim ( ) lim ( ) (0)
x x
f x f x f
，其中
0
(0) lim ( )
x
f f x b
，
2
0 0 0
1( )
1 cos 1
2
lim ( ) lim lim 2
x x x
x
x
f x ax ax a
，从而
1
2
ba
，也即
1
2
ab
，故选（A）。
（2）若函数
( )f x
可导，且
( ) ( ) 0f x f x
，则（ ）
（A）
(1) ( 1)f f
（B）
(1) ( 1)f f
（C）
(1) ( 1)f f
（D）
(1) ( 1)f f
【答案】（C）
【解析】令
2
( ) ( )F x f x
，则有
( ) 2 ( ) ( )F x f x f x
，故
( )F x
单调递增，则
(1) ( 1)F F
，
即
2 2
[ (1)] [ ( 1)]
f f
，即
(1) ( 1)f f
，故选 C。
（3）函数
2 2
( , , )
f x y z x y z
在点
(1, 2, 0)
处沿向量
(1, 2, 2)u
的方向导数为（ ）
（A）
12
（B）
6
（C）
4
（D）
2
【答案】（D）
【解 析 】
2
{2 , , 2 }gradf xy x z
，将点
(1, 2, 0)
代入得
(1,2,0) {4,1, 0}gradf
， 则
1 2 2
. {4,1,0}. , , 2
3 3 3
f u
gradf
u u
。
（4）甲、乙两人赛跑，即使开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速
度曲线
1( )v v t
（单位：m/s），虚线表示乙的速度
2( )v v t
，三块阴影部分面积的数值依次
为
10 20 3、 、
，即使开始后乙追上甲的时刻记为
0
t
（单位：s），则（ ）
2017年考研数学一真题及答案
（A）
010t
（B）
0
15 20t
（C）
025t
（D）
025t
【答案】（C）
【解析】从
0
到
0
t
时刻，甲乙的位移分别为
0
1
0( )
tV t dt
与
0
2
0( )
tV t dt
要使乙追上甲，则有
0
2 1
0[ ( ) ( )]
tV t V t dt
，由定积分的几何意义可知，
25
2 1
0[ ( ) ( )] 20 10 10V t V t dt
，可知
025t
，故选（C）。
（5）设
是
n
维单位列向量，
E
为
n
阶单位矩阵，则
（A）
T
E
不可逆 （B）
T
E
不可逆
（C）
2T
E
不可逆 （D）
2T
E
不可逆
【答案】（A）
【解析】因为
T
的特征值为
0
（
1n
重）和
1
，所以
T
E
的特征值为
1
（
1n
重）
和
0
，故
T
E
不可逆。
（6）设矩阵
2 0 0
0 2 1
0 0 1
A
，
2 1 0
0 2 0
0 0 1
B
，
100
0 2 0
0 0 2
C
，则
（A）
A
与
C
相似，
B
与
C
相似 （B）
A
与
C
相似，
B
与
C
不相似
（C）
A
与
C
不相似，
B
与
C
相似 （D）
A
与
C
不相似，
B
与
C
不相似
【答案】（B）
【解析】由
（ ）=0
E A
可知
A
的特征值为 2,2,1。
3 (2 ) 1
r E A
。
A
可相似对角化，且
100
0 2 0
0 0 2
A
由
0
E B
可知
B
的特征值为 2,2,1。
3 (2 ) 2
r E B
。
B
不可相似对角化，显然
C
可相似对角化，
A C
。且
B
不相似于
C
。
（7）设
,A B
为随机概率，若
0 ( ) 1
P A
，
0 ( ) 1
P B
，则
( ) ( )P A B P A B
的充要
条件是
（A）
( ) (B )P B A P A
（B）
( ) (B )P B A P A
（C）
( ) (B )P B A P A
（D）
( ) (B )P B A P A
【答案】（A）
【解析】因为
( )P A B P A B
，所以
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( )
( )
P AB P AB P A P AB
P B P B
P B
，从而
( ) ( ) ( )P AB P A P B
，且
( ) ( ) ( )
, ( )
( ) 1 ( )
P AB P B P AB
P B A P B A
P A P A
，所以
( )P B A P B A
。
（8）设
1 2
, ( 2)
n
X X X n
为来自总体
( ,1)N
的简单随即样本，记
1
1n
i
i
X X
n
，则下
列结论中不正确的是
（A）
2
1
( )
n
i
i
X
服从
2
分布 （B）
2
1
2( )
n
X X
服从
2
分布
（C）
2
1
( )
n
i
i
X X
服从
2
分布 （D）
2
( )n X
服从
2
分布
【答案】（B）
【解析】（A）
(0,1)
i
X N
故
2 2
1
( ) ( )
n
i
i
X n
；
（B）
1
1(0, 2) (0,1)
2
n
n
X X
X X N N
2
2
1(1)
2
n
x x
即
2
2
1
( ) (1)
2
n
x x
。
（C）由
2 2 2 2 2
1 1
1( ) ,( 1) ( ) ( 1)
1
n n
i i
i i
S X X n S X X n
n
。
（D）
1
( ) 0,X N n
，则
( ) (0,1)
n X N
，所以
2 2
( ) (1)n X
。
二、填空题：914 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数
2
1
( ) 1
f x x
，则
(3) (0)f
_______。
【答案】
0
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本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数1cos,0(),0xxfxaxbx，在0x处连续，则（）（A）12ab（B）12ab（C）0ab（D）2ab【答案】（A）【解析】由连续的定义可知：00lim()lim()(0)xxfxfxf，其中0(0)lim()xffxb，20001()1cos12lim()limlim2xxxxxfxaxaxa，从而12ba，也即12ab，故选（...
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