2021年考研数学一真题及答案
2023-06-28
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2021 考研数学一真题解析
（《新考研数学超级金讲》作者贺惠军撰写）
1.选择题（本题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分）.
（1）函数
( )
1,0
1, 0
x
ex
fx x
x
−≠
=
=
，在
0x=
处（ ）
（A）连续且取极大值. （B）连续且取极小值.
（C）可导且导数为 0. （D）可导且导数不为 0.
【答案】应选 D.
【分析】本题是一道常规分段函数临界点可导性的判断问题，分段函数临界点的可导性判断是一元微分
学的重点，但并不是难点，其判断只有唯一方法，就是利用临界点的导数定义进行判断。《新金讲》（《新金
讲》一共三个分册，对应于数学的三个科目，以下统一简称《新金讲》，题目对应的页码为对应分册的页码）
在第二章中的重难点专题中有重点解析，本题与书中例 2.27 本质是一致的。
【详解】易知
0
1
lim 1 (0)
x
x
ef
x
→
−= =
，函 数 在
0x=
处连续，由于函数
1
()
x
e
fx x
−
=
并非直线，因而没有
折点，必然是一条光滑曲线，如果在
0x=
处取极值，则必有
(0) 0f′=
，如果这一结果成立，则本题有至少
有两个答案，这显然这不合题意，由排除法可迅速得出答案为 D（这一分析思路看起来像是所谓的技巧，实
质是采用了数学的定性思维法，定性思维是在对考点有本质理解基础上升华的一种判断思维，在很大程度上
是比数学学习中常用到的定量计算更重要的一种思维方式，但遗憾的是，在国内版的所有数学教材中，只有
《新金讲》在努力尝试对这种思维进行解析和培养。实际上，最有效的应试技巧其实就是对事物本质的把
握），本题也可以通过定量计算来证明 D的结论。
( )
2
0 0 00
111 11
0 lim lim lim lim
2 22
x
xx
x x xx
eexe x
x
fx x xx
→ → →→
−−−− −
′= = = = =
，
所以函数
( )
fx
在
0x=
可导且导数不为 0，故选 D.
（2）设函数
( )
,f xy
可微，且
( )
( )
2
1, 1
x
f x e xx+=+
，
( )
22
, 2 lnf xx x x=
，则
d (1,1)f=
（ ）
（A）
ddxy+
. （B）
ddxy−
. （C）
dy
. （D）
dy−
.
【答案】应选 C.
【分析】本题是一道非常有效考查考生对全微分概念理解以及多个中间变量的单一自变量的复合函数
求导法则掌握情况的试题，在《新金讲》第七章的“重难点专题金讲”中有明确的总结，其思路本质上等同
于《新金讲》中例 7.60.
【详解】对于函数
(, )f xy
，有
d (1,1) (1,1)d (1,1)d
xy
f f xf y
′′
= +
，本题实质是求函数在点
(1,1)
处的两个
偏导数值.
对函数
2
(1,) (1)
x
f x e xx+=+
两边同时求
x
的导数：
( ) ( )
2
( 1, ) ( 1, ) 1 2 1
x xx
xy
fxe fxee x xx
′
′+ + + =++ +
， ①
取
0x=
代入①式，得
( ) ( )
1,1 1,1 1
xy
ff
′
′+=
. ②
对函数
( )
22
, 2 lnf xx x x=
两边同时求
x
的导数，
( ) ( )
22
, , 2 4 ln 2
xy
f xx f xx x x x x
′
′+=+
， ③
取
1x=
代入③式中得
( ) ( )
1,1 1,1 2 2
xy
ff
′
′+ ⋅=
， ④
联立式②④解得
( ) ( )
1,1 0, 1,1 1
xy
ff
′′
= =
，故选 C.
（3）设函数
( )
2
sin
1
x
fx x
=+
在
0x=
处的 3次泰勒多项式为
23
ax bx cx++
，则（ ）
（A）
7
1, 0, 6
ab c= = = −
. （B）
7
1, 0, 6
ab c= = =
.
（C）
7
1, 1, 6
abc=−=−=−
. （D）
7
1, 1, 6
abc=−=−=
.
【答案】应选 A.
【分析】本题考查的是常规函数的泰勒级数展开（由于是在
0x=
处的展开，因此也等价于函数的麦克
劳林级数展开），直接套用《新金讲》总结的公式即可，由于展开式的最高次为 3次，为了避免遗漏展开项，
所涉及到的函数宜展开到至少 3次.
【详解】由麦克劳林公式可得
33
1
sin ( )
6
x x x ox=−+
，
24 4
2
11 ()
1x x ox
x=−++
+
，
故有
33
2
sin 7 ()
16
xx x ox
x=−+
+
，所以
7
1, 0,
6
ab c= = = −
，因此答案为 A.
（4）设函数
()fx
在区间
[ ]
0,1
上连续，则
1
0
( )dfxx=
∫
（ ）
（A）
1
2 11
lim 22
n
nk
k
fnn
→∞ =
−
∑
. （B）
1
2 11
lim 2
n
nk
k
fnn
→∞ =
−
∑
.
（C）
2
1
11
lim 2
n
nk
k
fnn
→∞ =
−
∑
. （D）
2
1
2
lim 2
n
nk
k
fnn
→∞ =
∑
.
【答案】应选 B.
【分析】本题逆向考查了数列和极限的定积分计算方法，如果对这一重要考点有踏实的理解，无论是从
摘要：
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2021考研数学一真题解析（《新考研数学超级金讲》作者贺惠军撰写）1.选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）.（1）函数()1,01,0xexfxxx−≠==，在0x=处（）（A）连续且取极大值.（B）连续且取极小值.（C）可导且导数为0.（D）可导且导数不为0.【答案】应选D.【分析】本题是一道常规分段函数临界点可导性的判断问题，分段函数临界点的可导性判断是一元微分学的重点，但并不是难点，其判断只有唯一方法，就是利用临界点的导数定义进行判断。《新金讲》（《新金讲》一共三个分册，对应于数学的三个科目，以下统一简称《新金讲》，题目对应的页码为对应分册的页码）在第二章中的重难点专...
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