苏州科技学院-823高等代数【2012】考研真题
2023-06-21
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苏州科技学院
2012 年硕士研究生入学考试初试试题
科目代
码:
823 科目名称: 高等代数 满
分:
150 分
注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项;②所有答案必须写在答题纸上,写在本试题纸或草稿纸
上均无效;③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回!
1.(20 分)若 阶实方阵 的特征值均为正数,试证矩阵 (其中
表示 阶单位矩阵)是可逆矩阵。
2.(20 分)设多项式 不全为 0,证明: ,其
中 表示 的最大公因式, 为正整数。
3.(20 分)设 阶方阵 的行列式为 ,而矩阵 的特征值的绝对值都严格小
于 2,其中 为 阶单位矩阵,证明: ,其中 表示 的绝对值。
4.(20 分)设 为一 阶方阵,证明:存在一个 阶非零方阵 使 的充分必要
条件是 ,其中 表示零矩阵。
5.(20 分)设向量组 线性无关,证明向量组
线性无关的充分必要条件是
行列式 。
6.(20 分)若将 阶实对称矩阵按合同分类,即两个 阶实对称矩阵属于同一类当且
仅当它们合同,问共有几类?
7.(20 分)设 是数域 P上的 维线性空间 V上的线性变换,证明:
1 存在 P中次数 的多项式 ,使 ;
2 如果 ,则 ,其中 为 的最大公因式; 3
可逆当且仅当存在一常数项不为 0 的多项式 ,使得 。
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苏州科技学院2012年硕士研究生入学考试初试试题科目代码:823科目名称:高等代数满分:150分注意:①认真阅读答题纸上的注意事项;②所有答案必须写在答题纸上,写在本试题纸或草稿纸上均无效;③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回!1.(20分)若阶实方阵的特征值均为正数,试证矩阵(其中表示阶单位矩阵)是可逆矩阵。2.(20分)设多项式不全为0,证明:,其中表示的最大公因式,为正整数。3.(20分)设阶方阵的行列式为,而矩阵的特征值的绝对值都严格小于2,其中为阶单位矩阵,证明:,其中表示的绝对值。4.(20分)设为一阶方阵,证明:存在一个阶非零方阵使的充分必要条件是,其中表示零矩阵。5.(20...
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