苏州科技学院-823高等代数【2012】考研真题
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2023-06-21
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苏州科技学院
2012 年硕士研究生入学考试初试试题
科目代
码：
823 科目名称： 高等代数 满
分：
150 分
注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸
上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
1.（20 分）若 阶实方阵 的特征值均为正数，试证矩阵 （其中
表示 阶单位矩阵）是可逆矩阵。
2.（20 分）设多项式 不全为 0，证明： ，其
中 表示 的最大公因式， 为正整数。
3.（20 分）设 阶方阵 的行列式为 ，而矩阵 的特征值的绝对值都严格小
于 2，其中 为 阶单位矩阵，证明： ，其中 表示 的绝对值。
4.（20 分）设 为一 阶方阵，证明：存在一个 阶非零方阵 使 的充分必要
条件是 ，其中 表示零矩阵。
5.（20 分）设向量组 线性无关，证明向量组
线性无关的充分必要条件是
行列式 。
6.（20 分）若将 阶实对称矩阵按合同分类，即两个 阶实对称矩阵属于同一类当且
仅当它们合同，问共有几类？
7.（20 分）设 是数域 P上的 维线性空间 V上的线性变换，证明：
1 存在 P中次数 的多项式 ，使 ；
2 如果 ，则 ，其中 为 的最大公因式； 3
可逆当且仅当存在一常数项不为 0 的多项式 ，使得 。
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苏州科技学院2012年硕士研究生入学考试初试试题科目代码：823科目名称：高等代数满分：150分注意:①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！1.（20分）若阶实方阵的特征值均为正数，试证矩阵（其中表示阶单位矩阵）是可逆矩阵。2.（20分）设多项式不全为0，证明：，其中表示的最大公因式，为正整数。3.（20分）设阶方阵的行列式为，而矩阵的特征值的绝对值都严格小于2，其中为阶单位矩阵，证明：，其中表示的绝对值。4.（20分）设为一阶方阵，证明：存在一个阶非零方阵使的充分必要条件是，其中表示零矩阵。5.（20...
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