考研数学公式总结
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2023-09-25
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1
高等数学
高中公式
三角函数公式
和差角公式 和差化积公式
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
()
1
1
()
tg tg
tg tg tg
ctg ctg
ctg ctg ctg
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin
22
cos cos 2cos cos
22
cos cos -2sin sin
22
积化和差公式 倍角公式
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
1
cos sin [sin( ) sin( )]
2
1
cos cos [cos( ) cos( )]
21
sin sin [cos( ) cos( )]
2
2
22
2
22
2
2
2
3
3
3
2
2tan
sin 2 2sin cos 1 tan
cos2 2cos 1 1 2sin
1 tan
cos sin 1 tan
21
2 2
12
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3
313
tg ctg
tg ctg
tg ctg
tg tg
tg tg
半角公式
1 cos 1 cos
sin cos
2 2 2 2
1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
tg
ctg
11
V =SH V = SH V = H(S+ +S )
33
SS
棱柱 棱锥 棱台
球的表面积：4πR2 球的体积：
3
4
3R
椭圆面积：πab 椭球的体积：
4
3abc
第1章 极限与连续
1.1 集合、映射、函数
空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，
上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界
确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。
映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，
因变量，基本初等函数
1.2 数列的极限
性质：
1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。
2. （有界性）收敛数列必为有界数列。
3. （子列不变性）若数列收敛于 a，则其任何子列也收敛于 a。
注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。
注2. 若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于 a，且这两个子列合起来
就是原数列，则原数列也收敛于 a。
注3. 性质 3提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从
该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。
4. （对有限变动的不变性）若数列{xn}收敛于 a，则改变{xn}中的有限项所
得到的新数列仍收敛于 a。
5. （保序性）若
lim ,lim
nn
nn
x a y b
，且 a<b，则存在 N，当 n>N 时，有
xn<yn。
判别法则：
1.夹逼法则：若∃N,当n>N 时，xn≤yn≤zn，且
lim
n
xn=
lim
n
zn=a, 则
lim
n
yn=a。
2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。
注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。
3.柯西收敛准则：数列{xn}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 ε，都存
在正整数 N ，使得当 m，n>N 时，有|xm-xn|<ε。
1.3 函数的极限
性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。
判别法则：
1.夹 逼 法 则 ： 若
00
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x A
，且存在 x0的 某 一 去 心 邻 域
00
( , ) ( , )
oo
U x x U x
，使得
，均有 f(x)≤g(x)≤h(x)，则
0
lim ( )
xx
g x A
。
2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。
3. 柯西收敛准则：函数 f(x)收敛的充要条件是：∀ε>0, ∃>0, ∀x’,x’’∈
0
( , )
o
Ux
,
有|f(x’)-f(x’’)|<ε。
4.海涅(Heine)归结原则：
0
lim ( )
xxf x A
的充要条件是：对于任何满足
0
lim n
nxx
的数列{xn}，都有
lim ( )
n
nf x A
。
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个
收敛于该点的自变量 x的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或
者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}
却具有不同的极限。
1.4 无穷小与无穷大
若
0
()
lim ()
xx
xl
x
，当
0
0
1
l
时，则称 x→x0时称 α(x) 是β(x) 的
( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
( ) ~ ( )
x o x
x O x
xx
高阶无穷小，记作
同阶无穷小，记作
等阶无穷小，记作
常用等价无穷小
2
sin tan arcsin arctan 1ln(1 ) ~
1
1 cos ~ (1 ) 1~ 1~ ln
2
x
ax
x x x x e x x
x x x ax a x a
若f(x=0), f’(0)≠0,则
2
0
1
( ) (0)
2
xf t dt f x
确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式
1.5 连续函数
极限存在⇔左右极限存在且相等。
连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。
简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.
左右极限至少有一个不存在。
闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。
1.6 常见题型
求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.
泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；
7.放缩法；
求极限
lim n
nx
,就要将数列 xn 放大与缩小成：zn≤xn≤yn.
8.求递归数列的极限
(1)先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设
lim n
nxA
, 再对递
归方程
1()
nn
a f a
取极限得 A=f(A), 最后解出 A即可。
(2)先设
lim n
nxA
，对递归方程取极限后解得 A，再用某种方法证明
lim n
naA
。
第2章 导数与微分
2.1 求导法则和求导公式
求导法则：
2
1.四则运算法则
[αu(x)+ βv(x)]’=αu’(x)+ βv’(x) [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+ u(x)v’(x)
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[]
( ) ( )
u x u x v x u x v x
v x v x
2.复合函数求导
( [ ( )]) [ ( )] ( )f x f x x
关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量
3.反函数求导
11
[ ( )] ()
fy fx
4.隐函数求导
5.参数式求导
2
23
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,
() ( ) [ ( )]
x x t dy y t d y y t x t y t x t
y y t dx x t dx x t
6.对数求导法
7.分段函数求导
(1)按求导法则求连接点处的左右导数
设
00 0 0
0
( ),
( ) , ( ) ( ) , ( ) .
( ),
g x x x x
f x g x h x A f x A
h x x x x
若 则
(2) 按定义求连接点处的左右导数
设
0
0
0
00
0
( ), ( ) ( )
( ) , , ( ) ( )
( ),
g x x x x g x f x x
f x A x x g x h x
h x x x x
与 在点 处无定义，
可按定义求 与
(3)对于
0
0
0
0
00
0
( ) ( )
(1) ( ) ( ) lim
( ),
( ) ,
,(2) ( ) lim ( )
xx
xx
f x f x
f x f x
g x x x xx
fx A x x f x f x
很复杂，按定义求,
否则，先求出 ，再求
8.变限积分求导
()
() ( ) , ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
x
x
dy
y f t dt f x x f x x
dx
求导公式：
1
( ) 0
()
( ) ln
1
(log ) ln
xx
a
C
xx
a a a
xxa
2
2
(sin ) cos
(cos ) sin
(tan ) sec
( ) csc
(sec ) sec tan
(csc ) csc
xx
xx
xx
ctgx x
x x x
x x ctgx
2
2
2
2
1
(arcsin ) 1
1
(arccos ) 1
1
()
11
()
1
xx
xx
arctgx x
arcctgx x
2.2 高阶导数和高阶微分
求高阶导数的方法：
1.莱布尼茨（Leibniz）公式：
( ) ( ) ( )
0
( ( ) ( )) ( ) ( )
n
n k k n k
n
k
u x v x C u x v x
2.常用公式
()
()
ax b n n ax b
e a e
()
(sin( )) sin( )
2
nn n
ax b a ax b
()
(cos( )) cos( )
2
nn n
ax b a ax b
()
(( ) ) ( 1)...( 1)( )
n n n
ax b a n ax b
()
1
1 ( 1) !
() ()
n
nn
n
n
a
ax b ax b
( ) 1 1
(ln( )) ( 1) ( 1)!()
n n n
n
ax b a n ax b
3.分解法
分解为上述初等函数之和
第3章 中值定理和泰勒公式
3.1 中值定理
费马定理：若是 x0是f(x)的一个极值点，且 f’(x0)存在，则必有 f’(x0)=0(可微
函数的极值点必为驻点)，
1.罗尔定理：若函数 f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间
(a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 f’(ξ)=0.
2.拉格朗日定理：若函数 f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开
区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得
( ) ( ) ()
f b f a f
ba
.
3.柯西定理：若函数 f(x)和g(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在
开区间(a,b)内可导；(iii) ∀x∈(a,b),g’(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f b f a f
g b g a g
3.2 泰勒公式
求泰勒公式的方法：
1.泰勒公式（拉格朗日余项）：
() ( 1) 1
000
0
() ()
( ) ( ) ( )
! ( 1)!
kn
nkn
k
fx f
f x x x x x
kn
2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）
21
3 5 2 1 2 1
1
2 4 2 2 2
1
2 3 1
1
11! 2! ! ( 1)!
sin ( 1) ( 1) cos
3! 5! (2 1)! (2 1)!
cos 1 ( 1) ( 1) cos
2! 4! (2 )! (2 2)!
ln(1 ) ( 1) ( 1)
2 3 ( 1)(1
nn
xx
nn
nn
nn
nn
nn
nn
x x x x
ee
nn
x x x x
x x x
nn
x x x x
xx
nn
x x x x
xx nn
1
2 1 ( 1)
)
(1 ) (1 )
0 1 2 1
n
n n n
x
x x x x x x
nn
2 1 1 1 ( 1)
2 1 1 ( 1)
1( 1)
11
2
2
11 ... ( 1) ( 1) (1 )
111 ... (1 )
1
1 (2 3)!! (2 1)!!
1 1 ( 1) ( 1) (1 )
2 (2 )!! (2 2)!!
n n n n n
n n n
nn
k k n n
k
x x x x x
x
x x x x x
x
kn
x x x x x
kn
3.逐项求导或逐项积分
若
0
( ) ( ) ( ) ( )
x
x
f x x f x t dt
或
，φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，
然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到 f(x)的泰勒公式。
例如：
2 4 5 3 5 5
2
00
1 1 1
arctan (1 ) ( ) ( )
1 3 5
xx
x dt t t dt o x x x x o x
t
3.3 函数的极值、最值
驻点，导数不存在的点为极值可疑点。
驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。
极值判别法则：
1.设点 x0为函数 f(x)的极值可疑点，f(x)在点 x0的邻域内连续，去心邻域内可
微，如果在(x0-δ,x0)内f’(x0)≥0，在 (x0,x0+δ)内f’(x0)≤0，则 x0必为 f(x)的极大
值点。反之必为极小值点。
2.若点 x0是f(x)的驻点且 f’’(x0)存在，则当 f’’(x0)>0(<0)时，x0必为 f(x)的极小
(大)值点。
3.设函数 f(x)在点 x0处有 n阶导数，且
( 1)
0 0 0
( ) ( ) ... ( ) 0
n
f x f x f x
，
但
() 0
( ) 0
n
fx
，则(i)当n为偶数时，f(x)在点 x0处取极值，当
() 0
( ) 0
n
fx
时
取极小值，当
() 0
( ) 0
n
fx
时取极大值；(ii)当n为奇数时 f(x0)不是极值。
3.4函数作图
定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则 f(x)在[a,b]
上是凸（凹）函数的充要条件是：1.f’(x) 在开区间(a,b)内单调递减（增）。
2. f(λx1)+ (1-λ)x2)<(>) λf(x1)+(1-λ) f(x2), λ∈(0,1).
3. f’’(x0)≤(≥)0.
若函数 f(x)在点 x0处凹凸性相反，则点 x0称为 f(x)的拐点。
拐点的必要条件：f’(x0)=0 或f’(x0)不存在。
拐点的充要条件：f’’(x)经过时变号。
渐近线：1.垂直渐近线：x=a 是垂直渐近线⇔
0
lim
xa
或
0
lim
xa
.
3
2.斜渐近线：f(x)=ax+b,
()
lim , lim ( ( ) )
xx
fx
a b f x ax
x
或
()
lim , lim ( ( ) )
xx
fx
a b f x ax
x
（水平渐近线为其特例）。
函数作图的步骤：
1. 确定函数的定义域；
2. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等；
3. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；
4. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表；
5. 适当确定一些特殊点的函数值；
6. 根据上面提供的数据，作图。
第4章 积分
4.1 不定积分
4.1.1.基本积分表
1
1 1 1
ln | |
1 ln
sin cos cos sin
tan ln | cos | cot ln | sin |
sec ln |sec tan |
csc ln | csc cot ln | csc cot ln | tan
xx
x dx x C dx x C a dx a C
xa
xdx x C xdx x C
xdx x C xdx x C
xdx x x C
x
xdx x x C x x C
22
2
2
|
2
sec tan csc cot
tan sec sec csc cot csc
1arcsin arccos
1
1arctan arccot
1
C
xdx x C xdx x C
x xdx x C x xdx x C
dx x C x C
x
dx x C x C
x
或
或
22 22
22
22 22
22
22 22
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
arctan arcsin
1 1 1
ln | | ln | |
2
1 1 1
ln | | ln( )
2
arcsin
22
2
xx
dx C dx C
a x a a a
ax
ax
dx C dx x x a C
a x a a x xa
xa
dx C dx x x a C
x a a x a xa
x a x
a x dx a x C
a
x
x a dx x a
222
2
2 2 2 2 2 2
22
22
ln
2
ln( )
22
cos ( cos sin )
sin ( sin cos )
ax
ax
ax
ax
ax x a C
xa
x a dx x a x x a C
e
e bxdx a bx b bx C
ab
e
e bxdx a bx b bx C
ab
不可积的几个初等函数：
222
1 sin cos
sin cos
ln
xxx
e x x
x x x
4.1.2.换元积分法和分部积分法
换元积分法： 1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。
2.第二类换元积分法，拆分。
分部积分法：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx
4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分
有理函数
()
() ()
Px
Rx Qx
的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：
（1）
Adx
xa
；（ 2）
A
()
ndx
xa
；
（3）
2
Mx+N dx
x px q
；（ 4）
2
Mx+N
()
ndx
x px q
1
2 2 2 2 2 1 2
1 2 3
( ) 2 ( 1) ( ) 2 ( 1)
nn
nn
dx x n
II
x a a n x a a n
三角函数有理式的积分一般用万能代换
tan 2
xt
，对于如下
形式可以采用更灵活的代换：
对于积分
22
(sin ,cos )R x x dx
，可令 tanx=t；
对于积分
(sin )cosR x xdx
，可令 sinx=t；
对于积分
(cos )sinR x xdx
，可令 cosx=t，等等。
某些可化为有理函数的积分
1.
( , )
nax b
R x dx
cx d
型积分，其中 n>1，其中 ad ≠bc。
这里的关键问题是消去根号，可令
ax b t
cx d
。
2.
2
(,R x ax bx cdx
型积分,其中
240b ac
，a ≠0 。 由 于
2
22
2
4
()
24
b ac b
ax bx c a x aa
，故此类型积分可以化为以下三种类型：
22
( , )R u k u dx
，可用三角替换
sinu k t
；
22
( , )R u u k dx
，可用三角替换
secu k t
；
22
( , )R u u k dx
，可用三角替换
tanu k t
。
12
1
tan tan
1
nn
nn
I xdx x I
n
倒代换：
2
4
1
1
xdx
x
，
2
4
1
1
xdx
x
，由此还可以求出
4
1
1dx
x
，
2
4
1
xdx
x
22
11
sin cos ,( 0)
sin cos
a x b x dx a b
a x b x
解 ： 设
11
sin cos ( sin cos ) ( cos sin )a x b x A a x b x B a x b x
，为此应有
1
1
aA bB a
bA aB b
，解得
1 1 1 1
2 2 2 2
,
aa bb ab ba
AB
a b a b
，故
11
sin cos ( sin cos )
sin cos sin cos
a x b x a x b x
dx A dx B dx
a x b x a x b x
1 1 1 1
2 2 2 2 ln | sin cos |
aa bb ab ba
x a x b x C
a b a b
4.2 定积分
4.2.1.可积条件
可积的必要条件：若函数 f(x)在闭区间[a,b]上可积，则 f(x)在[a,b]上有界。
可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。
4.2.2.定积分的计算
1.换元积分法
( ) ( ( )) ( )
b
af x dx f t t dx
从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类
换元积分法。
2.分部积分法
( ) ( ) ( ) ( )| ( ) ( )
bb
b
a
aa
u x v x dx u x v x u x v x dx
常见的积分和式
1
1
( ) ( )
( ) lim ( )
( 1)( ) ( )
( ) lim ( )
n
b
ani
n
b
ani
i b a b a
f x dx f a nn
i b a b a
f x dx f a nn
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