2005-2013考研数学二真题答案解析
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2005
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题
(1)【详解】先求出函数的导数,再求函数在某点的微分.
方法
1：利用恒等变形得
x
xy )sin1( +=
=
)sin1ln( xx
e+
，于是
]
sin1
cos
)sin1[ln(
)sin1ln(
x
x
xxey xx
+
⋅++⋅=
′+
，
从而
π
=x
dy
=
.)( dxdxy
ππ
−=
′
方法
2：两边取对数，
)sin1ln(ln xxy +=
，对
x
求导，得
1 cos
ln(1 sin ) 1 sin
xx
yx
yx
′=++
+
，
于是
]
sin1
cos
)sin1[ln()sin1( x
x
xxxy x
+
⋅++⋅+=
′
，
故
π
=x
dy
=
.)( dxdxy
ππ
−=
′
(2)曲线
x
x
y
2
3
)1( +
=
的斜渐近线方程为 ___________.
【详解】由求斜渐近线公式
y ax b= +
(其中
()
lim
x
fx
ax
→∞
=
，
lim[ ( ) ]
x
b f x ax
→∞
= −
)，得：
3
2
( ) (1 )
lim lim 1,
xx
fx x
axxx
→+∞ →+∞
+
= = =
[ ]
2
3)1(
lim)(lim 2
3
2
3
=
−+
=−= +∞→+∞→ x
xx
axxfb xx
，
于是所求斜渐近线方程为
.
2
3
+= xy
(3)【详解】通过还原变换求定积分
方法
1：令
tx sin=
(0 )
2
t
π
<<
,则
=
−−
∫
1
022
1)2( xx
xdx
∫
−
2
02cos)sin2(
cossin
π
dt
tt
tt
22
0
sin
2 sin
tdt
t
π
=−
∫
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22
20
0
cos arctan(cos )
1 cos 4
dt t
t
ππ
π
=−=− =
+
∫
方法
2：令
2
1xt−=
，有
22
1,xt= −
所以有
xdx tdt= −
，其中
01t<<
.
11
2
22
00
1
arctan 0
14
(2 ) 1
xdx dt t
t
xx
π
−
= = =
+
−−
∫∫
(4)【答案】
.
9
1
ln
3
1xxxy −=
【详解】求方程
() ()
dy Pxy Qx
dx +=
的解，有公式
() ()
()
P x dx P x dx
y e Q x e dx C
−
∫∫
= +
∫
(其中
C
是常数).
将原方程等价化为
xy
x
yln
2=+
′
，于是利用公式得方程的通解
22
[ ln ]
dx dx
xx
y e x e dx C
−
∫∫
= ⋅+
∫
2
2
1[ ln ]x xdx C
x
=⋅+
∫
=
2
11
ln
39
C
xx xx
−+
, (其中
C
是常数)
由
9
1
)1( −=y
得
0C=
，故所求解为
.
9
1
ln
3
1xxxy −=
(5)【详解】由题设，
2
00
( ) 1 arcsin cos
lim lim
()
xx
x xx x
x kx
β
α
→→
+−
=
=
)cosarcsin1(
cos1arcsin
lim 2
0xxxkx
xxx
x++
−+
→
2
0
1 arcsin 1 cos
lim
2
x
xx x
kx
→
+−
=
2
00
1 arcsin 1 cos
lim lim
2
xx
xx
kx x
→→
−
= +
，
又因为
2
0
1 cos 1
lim 2
x
x
x
→
−=
，
00
arcsin
lim arcsin lim 1
sin
xu
xu
xu
xu
→→
= =
所以
0
() 1 1
lim ( 1)
() 2 2
x
x
xk
β
α
→
= +
3
4k
=
由题设
0→x
时
()~ ()xx
αβ
，所以
31
4k=
， 得
.
4
3
=k
(6)【答案】2
【详解】
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方法
1：因为
1 2 3 123
1
( ) ( , , )1
1
α α α ααα
++ =
，
1 2 3 123
1
( 2 4 ) ( , , )2
4
α α α ααα
++ =
，
1 2 3 123
1
( 3 9 ) ( , , )3
9
α α α ααα
++ =
，
故
1 2 31 2 31 2 3
( , 2 4, 3 9)B
α α αα α αα α α
= ++ + + + +
=
941
321
111
),,(
321
ααα
，
记
123
(, , )A
ααα
=
，两边取行列式，于是有
.221
941
321
111
=×=⋅= AB
方法
2
：
利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对
应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)
1 2 31 2 31 2 3
, 2 4, 3 9B
α α αα α αα α α
=++ + + + +
[2] [1]
1 2 32 3 2 3
[3] [1]
, 3 ,2 8
α α αα α α α
−
−
====++ + +
[3] 2[2]
1 2 32 3 3
==== , 3 ,2
α α αα α α
−
++ +
1 2 32 33
=2 , 3 ,
α α αα αα
++ +
[1] [3]
1 223
[2] 3[3]
====2 , ,
α ααα
−
−
+
[1] [2]
123
====2 , ,
ααα
−
又因为
123
,, 1A
ααα
= =
，故
B
2A=
2=
.
二、选择题
(7)【答案】C
【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，
当
| |1x<
时 ，有
3
1 1| | 2
n
nn
nx≤+ ≤
，命
n→∞
取极限，得
lim 1 1
n
n→∞
=
，
lim 2 1
n
n→∞
=
，
由夹逼准则得
3
( ) lim 1 | | 1
n
n
n
fx x
→∞
= +=
；
当
| |1x=
时，
( ) lim 1 1 lim 2 1
nn
nn
fx →∞ →∞
= += =
；
当
| |1x>
时，
33 3 3 3
|| || 1|| 2|| 2||
n nn
n
nn n
xx x x x= <+ ≤ =
，命
n→∞
取极限，得
33
lim2|| ||
n
n
n
xx
→∞
=
，由夹逼准则得
1
33
3
1
()lim||( 1) ||.
|| n
n
n
fx x x
x
→∞
= +=
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