2018考研数学三真题+详解
2023-09-25
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2018全国研究生入学考试考研数学三试题
本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1～8小题，每小题 4分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的.
1. 下列函数中，在
0x
处不可导的是：
A.
xxxf sin)(
B.
xxxf sin)(
C.
xxf cos)(
D.
xxf cos)(
2.已知函数
)(xf
在[0,1]上二阶可导，且
1
00)( dxxf
，则
A.当
0)(' xf
时，
0
2
1
f
B.当
0)(" xf
时，
0
2
1
f
C..当
0)(' xf
时，
0
2
1
f
D..当
0)(" xf
时，
0
2
1
f
3.设
dx
x
x
M
2
22
2
1
)1(
，
dx
e
x
Nx
2
2
-
1
，
dxxK 2
2
-cos1
）（
，则
A.
KNM
B.
NKM
C.
NMK
D.
MNK
4.设某产品的成本函数
)(QC
可导，其中，
Q
为产量，若产量为
0
Q
时平均成本最小，则
A.
0)(' 0QC
B.
)()(' 00 QCQC
C.
)()(' 000 QCQQC
D.
)()(' 000 QCQCQ
5. 下列矩阵中，与矩阵
100
110
011
相似的是
A.
100
110
1-11
B.
100
110
101
C.
100
010
111
D.
100
010
101
6.设A,B 为n阶矩阵，记 r(X)为矩阵 X的秩，（X Y）表示分块矩阵，则
A.
)A()ABA (r r
B.
)A()BAA (r r
C.
)}B(),A({max)BA (r rr
D.
)B A(r)BA (r T
T
7.设随机变量 X的概率密度
)(xf
满足
6.0)(),1()1( 2
0 dxxfxfxf
，则
}0{P ＜x
= 。
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.6
8. 已知
n
XXX .....
21
，
为来自总体
),(~ 2
NX
的简单随机样本，
n
ii
XX
1
n
1
，
n
iiXXS
1
2
)(
1n
1
，
n
ii
X
n
S
1
2* )(
1
1
，则（）
A.
)(~
)(n nt
S
X
B.
)1-(~
)(n nt
S
X
C.
)(~
)(n
*nt
S
X
D.
)1-(~
)(n
*nt
S
X
二、填空题：9～14 小题，每小题 4分，共 24 分.
9.
xxxf ln2)( 2
在其拐点处的切线方程是 。
10.
dxexx 2
1arcsine
= 。
11. 差分方程
5
2 xx yy
的解为= 。
12. 函数
)(xf
)()(2)()( xoxxxfxfxxf
，且
2)0( f
，则
)1(f
= 。
13. 设A为3阶矩阵，
321
，，
为线性无关的向量组，若
3233223211 -22
AAA ，，
，则 A的实特征值
为 。
14. 已知事件 A,B,C 相互独立，
2
1
)()()( CPBPAP
，
）（ BAACP|
= 。
三、解答题：15～23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
2])[(lim 1
xebax x
x
，求
a
,
b
16. 求
dxdyx
D
2
，D由
)1(3 2
xy
与
xy 3
，y轴围成。
17. 一段绳子总长为 2m，分成三段，分别围成圆形，正方形，正三角形。三个图形的面积
之和有最小值吗？若有，求出最小值。
18. 已知
0
2
)1(
1
2cos
n
n
nxa
x
x
，求
n
a
。
19. 设数列
n
x
满足：
0
1x
，
1
1
nn xx
neex
，n=1，2，......
证明：数列
}{xn
收敛，并求
n
nx
lim
。
20.（本小题 11 分）
设实二次型
2
31
2
32
2
321321 )()()(),,( xxxxxxxxxxf
，
其中
为是参数。
（1）求
0),,( 321 xxxf
的解。
（2）求
),,( 321 xxxf
的规范形。
21.（本题满分 11 分）
已知
a
是常数，且矩阵
a
a
A
72
031
21
可经初等列变换化为矩阵
111
110
21 a
B
。
（1）求
a
；
（2）求满足 AP=B 的可逆矩阵 P.
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