考研数学历年真题(2008-2017)年数学一
2023-11-29
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1
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
（1）若函数
1 cos , 0
( )
, 0
xx
f x ax
b x
在
0x
处连续，则（ ）
(A)
1
2
ab
(B)
1
2
ab
(C)
0ab
(D)
2ab
（2）设函数
f x
可导，且
0f x f x
则（ ）
(A)
1 1f f
(B)
1 1f f
(C)
1 1f f
(D)
1 1f f
（3）函数
2 2
, ,f x y z x y z
在点
1,2,0
处沿向量
1,2,2n
的方向导数为（ ）
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线
1
v v t
（单
位:m/s）虚线表示乙的速度曲线
2
v v t
，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20，3，计时开始后乙追上甲的时
刻记为
0
t
（单位:s）,则（ ）
(A)
010t
(B)
0
15 20t
(C)
025t
(D)
025t
（5）设
为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
(A)
T
E
不可逆 (B)
T
E
不可逆
(C)
2T
E
不可逆 (D)
2T
E
不可逆
（6）已知矩阵
200
0 2 1
0 0 1
A
2 1 0
0 2 0
0 0 1
B
100
0 2 0
0 0 2
C
，则（ ）
2
(A) A 与 C 相似，B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似
(C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似
（7）设
,A B
为随机事件，若
0 ( ) 1,0 ( ) 1P A P B
,则
P A B P A B
的充分必要条件是（ ）
A.
P B A P B A
B
P B A P B A
C.
P PB A B A
D.
P PB A B A
（8）设
1 2
, ...... ( 2)
n
X X X n
来自总体
( ,1)N
的简单随机样本，记
1
1n
i
i
X X
n
则下列结论中不正确的是：（ ）
(A)
2
( )
i
X
服从
2
分布 (B)
2
1
2( )
n
X X
服从
2
分布
(C)
2
1
( )
n
i
i
X X
服从
2
分布 (D)
2
( )n X
服从
2
分布
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
（9） 已知函数
2
1
( ) 1
f x x
,则
(3) (0)f
__________
（10）微分方程
2 3 0y y y
的通解为
y
__________
（11）若曲线积分
Lyx
dydyxdx
1
22
在区域
2 2
D , 1x y x y
内与路径无关，则
a
（12）幂级数
11
1
1nn
n
nx
在区间（-1,1）内的和函数
( )S x
（13）设矩阵
1 0 1
1 1 2
0 1 1
A
，
1 2 3
, ,
为线性无关的 3 维列向量组，则向量组
1 2 3
, ,A A A
的秩为
（14）设随机变量 X 的分布函数为
4
0.5 0.5 2
x
F x x
，其中
x
为标准正态分布函数，则 EX=
三、解答题：15~23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分 10 分）
设函数
,f u v
具有 2 阶连续偏导数，
,
x
y f e cosx
,求
0
dy
dx
x
，
2
2
0
d
dx
y
x
3
（16）（本题满分 10 分）
求
2
1
lim ln 1
n
n k k
k k
n n
（17）（本题满分 10 分）
已知函数
y x
由方程
3 3 3 3 2 0x y x y
确定，求
y x
得极值
（18）（本题满分 10 分）
设函数
( )f x
在
0,1
上具有 2 阶导数，
0
( )
(1) 0, lim 0
x
f x
fx
证（1） 方程
( ) 0f x
在区间
(0,1)
至少存在一个根；
（2） 方程
0)]([)()( 2
xfxfxf
在区间
(0,1)
内至少存在两个不同的实根.
（19）（本题满分 10 分）
设薄片型物体
S
是圆锥面
2 2
Z x y
被柱面
22Z x
割下的有限部分，其上任一点弧度为
2 2 2
( , , ) 9u x y z x y z
。记圆锥与柱面的交线为
C
（1）求
C
在
xOy
平面上的投影曲线的方程
（2）求
S
的质量
M
（20）（本题满分 11 分）
设三阶行列式
1 2 3
( , , )A
有 3 个不同的特征值，且
3 1 2
2
（1）证明
( ) 2r A
（2）如果
1 2 3
求方程组
Ax
的通解
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