考研数学历年真题(1998-2007)年数学一
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2023-11-29
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1
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前
的字母填在题后括号内)
(1)当
0x
时,与
x
等价的无穷小量是（ ）
(A)
1 e x
(B)
1
ln1
x
x
(C)
1 1x
(D)
1 cos x
(2)曲线
1ln(1 e )
x
yx
,渐近线的条数为（ ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(3)如图,连续函数
( )y f x
在区间
[ 3, 2],[2,3]
上的图形分别是直径为1
的上、下半圆周,在区间
[ 2,0],[0,2]
的图形分别是直径为2的上、下半圆周,
设
0
( ) ( )
x
F x f t dt
.则下列结论正确的是（ ）
(A)
3
(3) ( 2)
4
F F
(B)
5
(3) (2)
4
F F
(C)
3
(3) (2)
4
F F
(D)
5
(3) ( 2)
4
F F
(4)设函数
( )f x
在
0x
处连续,下列命题错误的是（ ）
(A)若
0
( )
lim
x
f x
x
存在,则
(0) 0f
(B)若
0
( ) ( )
lim
x
f x f x
x
存在,则
(0) 0f
(C)若
0
( )
lim
x
f x
x
存在,则
(0) 0f
(D)若
0
( ) ( )
lim
x
f x f x
x
存在,则
(0) 0f
(5)设函数
( )f x
在(0,+
)上具有二阶导数,且
"( ) 0f x
,令
( ) 1,2, , ,
n
u f n n
则下列结论正确的是（ ）
(A)若
1 2
u u
,则{
n
u
}必收敛 (B)若
1 2
u u
,则{
n
u
}必发散
(C)若
1 2
u u
,则{
n
u
}必收敛 (D)若
1 2
u u
,则{
n
u
}必发散
(6)设曲线
: ( , ) 1L f x y
(
( , )f x y
具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点
M
和第Ⅳ象限内的点
,N
为
L
上从点
M
到
N
的一段弧,则下列小于零的是（ ）
(A)
( , )x y dx
(B)
( , )f x y dy
(C)
( , )f x y ds
(D)
' ( , ) ' ( , )
x y
f x y dx f x y dy
(7)设向量组
1 2 3
, ,α α α
线性无关,则下列向量组线形相关的是（ ）
(A)
, ,
1 2 2 3 3 1
α α α α α α
(B)
, ,
1 2 2 3 3 1
α α α α α α
(C)
1 2 2 3 3 1
2 , 2 , 2 α α α α α α
(D)
1 2 2 3 3 1
2 , 2 , 2 α α α α α α
2
(8)设矩阵
2 1 1
1 2 1
1 1 2
A
,
1 0 0
0 1 0
000
B
,则
A
与
B
（ ）
(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似
(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为
0 1p p
,则此人第4次射击恰好第2次命中目标
的概率为（ ）
(A)
2
3 (1 )p p
(B)
2
6 (1 )p p
(C)
2 2
3 (1 )p p
(D)
2 2
6 (1 )p p
(10)设随即变量
( , )X Y
服从二维正态分布,且
X
与
Y
不相关,
( )Xf x
,
( )Yf y
分别表示
,X Y
的概率密度,则在
Y y
的条件下,
X
的条件概率密度
|( | )X Yf x y
为（ ）
(A)
( )Xf x
(B)
( )Yf y
(C)
( )Xf x
( )Yf y
(D)
( )
( )
X
Y
f x
f y
二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)
(11)
3
1
2
1
1exdx
x
=_______.
(12)设
( , )f u v
为二元可微函数,
( , )
y x
z f x y
,则
z
x
=______.
(13)二阶常系数非齐次线性方程
2
'' 4 ' 3 2e x
y y y
的通解为
y
=____________.
(14)设曲面
:| | | | | | 1x y z
,则
( | |)x y ds
=_____________.
(15)设矩阵
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0000
A
,则
3
A
的秩为________.
(16)在区间
(0,1)
中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于
1
2
的概率为________.
三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(17)(本题满分11分)
求函数
2 2 2 2
( , ) 2f x y x y x y
在区域
2 2
{( , ) | 4, 0}D x y x y y
上的最大值和最小值.
3
(18)(本题满分10分)
计算曲面积分
2 3 ,I xzdydz zydzdx xydxdy
其中
为曲面
2
2
1 (0 1)
4
y
z x z
的上侧.
(19)(本题满分11分)
设函数
( ), ( )f x g x
在
[ , ]a b
上连续,在
( , )a b
内具有二阶导数且存在相等的最大值,
( ) ( ), ( ) ( )f a g a f b g b
,
证明:存在
( , )a b
,使得
( ) ( )f g
.
(20)(本题满分10分)
设幂级数
0
n
n
n
a x
在
( , )
内收敛,其和函数
( )y x
满足
2 4 0, (0) 0, (0) 1.y xy y y y
(1)证明:
2
2, 1,2, .
1
n n
a a n
n
(2)求
( )y x
的表达式.
(21)(本题满分11分)
设线性方程组
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
0
2 0 ,
4 0
x x x
x x ax
x x a x
与方程
1 2 3
2 1,x x x a
有公共解,求
a
的值及所有公共解.
(22)(本题满分11分)
设3阶实对称矩阵
A
的特征向量值
1 2 3 1
1, 2, 2. (1, 1,1)T
α
是
A
的属于特征值
1
的一个特征向量,
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