考研数学历年真题(1987-1997)年数学一
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2023-11-29
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1
1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15 分.把答案填在题中横线上)
(1)
2
0
1
3sin cos
lim (1 cos )ln(1 )
x
x x x
x x
=_____________.
(2)设幂级数
1
n
n
n
a x
的收敛半径为3,则幂级数
1
1
( 1)n
n
n
na x
的收敛区间为_____________.
(3)对数螺线
e
在点
2
( , ) (e , )
2
处切线的直角坐标方程为_____________.
(4)设
1 2 2
4 3 ,
3 1 1
t
A B
为三阶非零矩阵,且
,AB O
则
t
=_____________.
(5)袋中有50 个乒乓球,其中20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取
得黄球的概率是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字
母填在题后的括号内)
(1)二元函数
( , )f x y
2 2 ( , ) (0,0)
0 ( , ) (0,0)
xy x y
x y
x y
,在点
(0,0)
处（ ）
(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在
(C)不连续,偏导数存在 (D)连续,偏导数不存在
(2)设在区间
[ , ]a b
上
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0.f x f x f x
令
1 2 3
1
( ) , ( )( ), [ ( ) ( )]( ),
2
b
a
S f x dx S f b b a S f a f b b a
则（ ）
(A)
1 2 3
S S S
(B)
213
S S S
(C)
3 1 2
S S S
(D)
2 3 1
S S S
(3)设
2sin
( ) e sin ,
xt
x
F x tdt
则
( )F x
（ ）
(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数
(4)设
1 1 1
1 2 2 2 3 2
3 3 3
, , ,
a b c
a b c
a b c
α α α
则三条直线
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0,
0,
0
a x b y c
a x b y c
a x b y c
(其中
2 2 0, 1,2,3
i i
a b i
)交于一点的充要条
件是:（ ）
(A)
1 2 3
, ,α α α
线性相关 (B)
1 2 3
, ,α α α
线性无关
(C)秩
1 2 3
( , , )rα α α
秩
1 2
( , )rα α
(D)
1 2 3
, ,α α α
线性相关
1 2
, ,α α
线性无关
2
(5)设两个相互独立的随机变量
X
和
Y
的方差分别为4和2,则随机变量
3 2X Y
的方差是（ ）
(A)8 (B)16 (C)28 (D)44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15 分)
(1)计算
2 2
( ) ,I x y dv
其中
为平面曲线
22
0
y z
x
绕
z
轴旋转一周所成的曲面与平面
8z
所围成的区域.
(2)计算曲线积分
( ) ( ) ( ) ,
c
z y dx x z dy x y dz
其中
c
是曲线
2 2 1
2
x y
x y z
从
z
轴正向往
z
轴负向看
c
的方向
是顺时针的.
(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为
,N
在
0t
时刻已掌握新技术
的人数为
0,x
在任意时刻
t
已掌握新技术的人数为
( )(x t
将
( )x t
视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和
未掌握新技术人数之积成正比,比例常数
0,k
求
( ).x t
四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13 分)
(1)设直线
:l
0
3 0
x y b
x ay z
在平面
上,而平面
与曲面
2 2
z x y
相切于点
(1, 2,5),
求
,a b
之值.
(2)设函数
( )f u
具有二阶连续导数,而
(e sin )
x
z f y
满足方程
2 2 2
2 2 e ,
x
z z z
x y
求
( ).f u
五、(本题满分6分)
设
( )f x
连续
1
0
, ( ) ( ) ,x f xt dt
且
0
( )
lim (
x
f x A A
x
为常数),求
( )x
并讨论
( )x
在
0x
处的连续性.
六、(本题满分8分)
设
1 1
1 1
0, ( )( 1,2, ),
2
n n
n
a a a n
a
证明
(1)
lim n
xa
存在. (2)级数
11
( 1)
n
nn
a
a
收敛.
3
七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11 分)
(1)设
B
是秩为2的
5 4
矩阵
1 2 3
, [1,1,2,3] , [ 1,1,4, 1] , [5, 1, 8,9]
T T T
α α α
是齐次线性方程组
xB 0
的
解向量,求
xB 0
的解空间的一个标准正交基.
(2)已知
1
1
1
ξ
是矩阵
2 1 2
5 3
1 2
a
b
A
的一个特征向量.
1)试确定
,a b
参数及特征向量
ξ
所对应的特征值.
2)问
A
能否相似于对角阵?说明理由.
八、（本题满分5分）
设
A
是
n
阶可逆方阵,将
A
的第
i
行和第
j
行对换后得到的矩阵记为
.B
(1)证明
B
可逆.
(2)求
1.
AB
九、（本题满分7分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是
2.
5
设
X
为途中遇到红灯的次数,求随机变量
X
的分布律、分布函数和数学期望.
十、（本题满分5分）
设总体
X
的概率密度为
( )f x
( 1)
0
x
0 1x
其它
其中
1
是未知参数
1 2
, , , , n
X X X
是来自总体
X
的一个容量为
n
的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然
估计法求
的估计量.
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