2023年考研数学一真题
2023-11-29
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2023 年全国硕士研究生招生考试 (数学一)试题
2022 年12 月25 日上午 8:30-11:30
绝密 ⋆启用前 微信公众号：八一考研数学竞赛
考试形式： 闭卷 考试时间： 180 分钟 满分： 150 分
注意：1.所有答题都须写在试卷密封线右边,写在其他纸上一律无效.
2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.
3.如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号.
一、选择题：1-10 题.（每题 10 分，共 50 分）
1. 曲线 y=xln e+1
x−1的斜渐近线方程为( )
A. y=x+e B. y=x+1
eC. y=xD. y=x−1
e
2. 若微分方程 y′′ +ay′+by = 0 的解在 (−∞,+∞)上有界,则( )
A. a < 0, b > 0B. a > 0, b > 0C. a= 0, b > 0D. a= 0, b < 0
3. 设函数 y=f(x)由x= 2t+|t|,
y=|t|sin t确定,则( )
A. f(x)连续,f′(0) 不存在.
B. f′(0) 存在,f′(x)在x= 0 处不连续.
C. f′(x)连续,f′′(0) 不存在.
D. f′′(0) 存在,f′(x)在x= 0 处不连续.
4. 已知 an< bn(n= 1,2,···),若级数
∞
n=1
an与
∞
n=1
bn均收敛,则“
∞
n=1
an绝对收敛”是“
∞
n=1
bn绝对收敛”
的( )
A. 充分必要条件.
B. 充分不必要条件.
C. 必要不充分条件.
D. 既不充分也不必要条件.
5. 已知 n阶矩阵 A, B, C 满足 ABC =O, E 为n阶单位矩阵.记矩阵 O A
BC E ,AB C
O E ·
E AB
AB O 的秩分别为 r1, r2, r3,则( )
A. r1≤r2≤r3B. r1≤r3≤r2C. r3≤r2≤r1D. r2≤r1≤r3
6. 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是( )
2
A.
1 1 a
0 2 2
0 0 3
. B.
1 1 a
1 2 0
a0 3
C.
1 1 a
0 2 0
0 0 2
D.
1 1 a
0 2 2
0 0 2
7. 已知向量 α1=
1
2
3
,α2=
2
1
1
, β1=
2
5
9
,β2=
1
0
1
,若γ既可由 α1,α2线性表示，
也可由 β1,β2线性表示,则γ=( )
A. k
3
3
4
, k ∈R. B. k
3
5
10
, k ∈RC. k
−1
1
2
, k ∈RD. k
1
5
8
, k ∈R.
8. 设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布,则E(|X−EX|) =( )
A. 1
e. B. 1
2. C. 2
e. D. 1.
9. X1, X2,··· , Xn为来自总体的 Nµ1, σ2的简单随机样本,Y1, Y2,···Yn,为来自总体的 Nµ2,2σ2的简
单随机样本,且两样本相互独立,记
¯
X=1
n
n
i=1
Xi,¯
Y=1
m
m
i=1
Yi, S2
1=1
n−1
n
i=1 Xi−¯
X2, S2
2=1
m−1
m
i=1 Yi−¯
Y2
则( )
A. S2
1
S2
2∼F(n, m).
B. S2
1
S2
2∼F(n−1, m −1).
C. 2S2
1
S2
2∼F(n, m).
D. 2S2
1
S2
2∼F(n−1, m −1).
10. 设X1, X2为来自总体 µ, σ2的简单随机样本,其中 σ(σ > 0) 是末知参数,若ˆσ=a|X1−X2|为σ的
无偏估计,则a=( )
A. √π
2B. √2π
2C. √πD. √2π
二、填空题：11-16 题.(每题 5分，共 30 分)
11. 当x→0时,函数 f(x) = ax +bx2+ln(1 + x)与g(x) = ex2−cos x是等价无穷小,则ab =.
12. 曲面 z=x+ 2y+ln 1 + x2+y2在点 (0,0,0) 处的切平面方程为 .
13. 设f(x)是周期为 2的周期函数,且f(x) = 1 −x, x ∈[0,1].若f(x) = a0
2+
∞
n=1
ancos nπx,则
∞
n=1
a2n=.
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