2023考研数学二答案真题解析
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2023-11-29
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2023 年考研数学二
一、选择题，
110 题，每题5分，共50 分.
1. 曲线yDxlneC1
x1的斜渐近线方程为 ( )
A. yDxCe B. yDxC1
eC. yDxD. yDx1
e
解斜率aDlim
x!1
y
xD1，截距
bDlim
x!1.y x/ Dlim
x!1 xlneC1
x11Dlim
x!1 xln1C1
e.x 1/D1
e;
选B.
2. 函数f .x/ D8
<
:
1
p1Cx2; x 60
.x C1/ cos x; x > 0
的一个原函数为 ( )
A. F .x/ D´lnp1Cx2x; x 60
.x C1/ cos xsin x; x > 0
B. F .x/ D´lnp1Cx2xC1; x 60
.x C1/ cos xsin x; x > 0
C. F .x/ D´lnp1Cx2Cx; x 60
.x C1/ sin xCcos x; x > 0
D. F .x/ D´lnp1Cx2CxC1; x 60
.x C1/ sin xCcos x; x > 0
解当x < 0 时，Z1
p1Cx2
dxDlnp1Cx2CxCC1.当x > 0 时，Z.x C1/ cos xdxD
.x C1/ sin xCcos xCC2.且F .x/ 需要在xD0处连续，选D.
3. 已知¹xnº;¹ynº满足：x1Dy1D1
2; xnC1Dsin xn; ynC1Dy2
n.n D1; 2; /，则当n! 1 时，
( )
A. xn是yn的高阶无穷小 B. yn是xn的高阶无穷小
C. xn与yn是等价无穷小 D. xn与yn是同阶但不等价的无穷小
解不难得到xn和yn都是单调递减趋于0的.当0 < x < π
2时，有sin x > 2
πx，于是xnC1D
sin xn>2
πxn.而ynC1Dy2
n<1
2yn，所以ynC1
xnC1
<
1
2yn
2
πxnDπ
4yn
xn
< <π
4ny1
x1Dπ
4n
!0，
因此选B.
4. 若微分方程y00 Cay0Cby D0的解在.1;C1/上有界，则 ( )
A. a < 0; b > 0 B. a > 0; b > 0 C. aD0; b > 0 D. aD0; b < 0
1
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解设特征方程2Ca CbD0的两个根为1; 2，那么方程的通解为yDC1e1xCC2e2x.由
于此通解在.1;C1/上有界，那么1; 2的实部必须为0，虚部非零.即1;2 D ˙ci; c 2R，由
韦达定理可知aD .1C2/D0; b D12Dc2> 0，选C.
5. 设函数yDf .x/ 由´xD2t C jtj
yD jtjsin t确定，则 ( )
A. f .x/ 连续，f0.0/ 不存在 B. f0.0/ 存在，f0.x/ 在xD0处不连续
C. f0.x/ 连续，f00.0/ 不存在 D. f00.0/ 存在，f00.x/ 在xD0处不连续
解将参数方程化为显函数得f .x/ D´x
3sin x
3; x > 0
xsin x; x 60
，那么由此不难得到
f0.x/ D8
<
:
1
3sin x
3Cx
9cos x
3; x > 0
sin xxcos x; x 60
;
进一步得到f00
C.0/ D2
9; f 00
.0/ D 2，所以f0.x/ 连续，而f00.0/ 不存在，选C.
6. 若函数f .˛/ DZC1
2
1
x.ln x/˛C1dx在˛D˛0处取得最小值，则˛0D( )
A. 1
ln.ln 2/ B. ln.ln 2/ C. 1
ln 2D. ln 2
解函数f .˛/ DZC1
2
1
x.ln x/˛C1dx的定义域为˛ > 0，且f .˛/ D 1
˛.ln x/˛ˇˇˇˇ
C1
2D1
˛.ln 2/˛.
令g.˛/ D˛.ln 2/˛，则g0.˛/ D.ln 2/˛Œ1 C˛ln.ln 2/，显然g.˛/ 在˛D 1
ln.ln 2/ 时取到最大值，
从而f .˛/ 在˛D 1
ln.ln 2/ 时取到最小值，选A.
7. 设函数f .x/ D.x2Ca/ ex，若f .x/ 没有极值点，但曲线yDf .x/ 有拐点，则˛的取值范围是
( )
A. Œ0; 1/ B. Œ1; C1/C. Œ1; 2/ D. Œ2; C1/
解f0.x/ D.x2C2x Ca/ ex; f 00.x/ D.x2C4x CaC2/ ex，那么1D44a 60; 2D
16 4.a C2/ > 0，解得16a < 2，选C.
8. 设A;B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M为矩阵M的伴随矩阵，则A E
O BD( )
A. jAjBBA
OjBjAB. jAjBAB
OjBjA
C. jBjABA
OjAjBD. jBjAAB
OjAjB
解首先利用初等行变换求矩阵A E
O B的逆：
A E E O
O B O E !E A1A1O
O E O B1!E O A1A1B1
O E O B1:
于是A E
O BDˇˇˇˇ
A E
O BˇˇˇˇA E
O B1
D jAjjBjA1A1B1
O B1DjBjAAB
OjAjB，选
D.
2
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9. 二次型f .x1; x2; x3/D.x1Cx2/2C.x1Cx3/24.x2x3/2的规范形为 ( )
A. y2
1Cy2
2B. y2
1y2
2C. y2
1Cy2
24y2
3D. y2
1Cy2
2y2
3
解先令´1Dx1Cx2; ´2Dx1Cx3; ´3Dx3，那么f .x1; x2; x3/D´2
1C´2
24.´1´2/2D
3´2
13´2
2C8´1´2D 3´14
3´22
C7
3´2
2，于是二次型的正负惯性指数均为1，选B.
10. 已知向量˛1D0
@
1
2
31
A;˛2D0
@
2
1
11
A;ˇ1D0
@
2
5
91
A;ˇ2D0
@
1
0
11
A.若既可由˛1;˛2线性表示，也可由
ˇ1;ˇ2线性表示，则D( )
A. k0
@
3
3
41
A; k 2RB. k0
@
3
5
101
A; k 2RC. k0
@
1
1
21
A; k 2RD. k0
@
1
5
81
A; k 2R
解令Dk1˛1Ck2˛2D k3ˇ1k4ˇ2，可以得到关于k1; k2; k3; k4的线性方程组k1˛1C
k2˛2Ck3˛3Ck4˛4D0，对系数矩阵进行初等行变换可得
.˛1;˛2;˛3;˛4/D0
@
1 2 2 1
2 1 5 0
3 1 9 11
A!0
@
1 2 2 1
03 1 2
05 3 21
A!0
@
1 2 2 1
03 1 2
0 0 1 1 1
A:
由此可得k3Ck4D0，令k3D k; k4Dk，则Dkˇ1kˇ2Dk0
@
1
5
81
A; k 2R，选D.
二、填空题，
11 16 题，每题5分，共30 分.
11. 当x!0时，函数f .x/ Dax Cbx2Cln.1 Cx/ 与g.x/ Dex2cos x是等价无穷小，则
ab D.
解当x!0时，g.x/ D1Cx211
2x2Co.x2/3
2x2，而
f .x/ Dax Cbx2Cx1
2x2Co.x2/D.a C1/x Cb1
2x2Co.x2/;
所以aC1D0; b 1
2D3
2; a D 1; b D2; ab D 2.
12. 曲线yDZx
p3
p3t2dt的弧长为 .
解弧长为sDZp3
p3p1Cy02dxDZp3
p3
p4x2dxDZπ
3
π
3
4cos2dD4π
3Cp3.
13. 设函数´D´.x; y/ 由e´Cx´ D2x y确定，则@2´
@x2ˇˇˇˇ.1;1/ D.
解当xDyD1时，´D0，等式两边对x求偏导数可得e´´0
xC´Cx´0
xD2，代入xDyD
1; ´ D0可得´0
xD1.两边再对x求偏导数可得e´.´0
x/2Ce´´00
xx C´0
xC´0
xCx´00
xx D0，可得
´00
xx .1; 1/ D 3
2.
14. 曲线3x3Dy5C2y3在xD1对应点处的法线斜率为 .
3
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