1989-2004考研数二答案解析
2023-11-29
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1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(每小题3分,满分21分.)
(1)【答案】
1
2
【解析】这是个
0⋅∞
型未定式,可将其等价变换成
0
0
型,从而利用洛必达法则进行求解.
方法一：
00 0
cos 2
lim cot 2 lim lim cos 2
sin 2 sin 2
xx x
xx
xx x x
xx
→→ →
= = ⋅
00
11
lim lim
sin 2 2cos 2 2
xx
x
xx
→→
= =洛
.
方法二：
00
cos 2
lim cot 2 lim sin 2
xx
x
xx xx
→→
=
00
12 121
lim cos 2 lim .
2 sin 2 2 sin 2 2
xx
xx
x
xx
→→
= ⋅= =
【相关知识点】
0
sin
lim
x
x
x
→
是两个重要极限中的一个,
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
.
(2)【答案】
π
【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,
0sint tdt
π
=
∫
0
00
( cos ) cos ( cos )td t t t t dt
ππ
π
− =− −−
∫∫
分部法
0
0 sin (0 0)
t
π
π ππ
= ++ = + − =
.
(3)【答案】
2yx=
【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0
()fx
′
.
这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即
( 1)( 2)yx x
′=−−
.
由
y′
在其定义域内的连续性,可知
0(0 1)(0 2) 2
x
y=
′=− −=
.
所以,所求切线方程为
0 2( 0)yx−= −
,即
2yx=
.
(4)【答案】
!n
【解析】
方法一：
利用函数导数的概念求解,即
00
( ) (0) ( 1)( 2) ( ) 0
(0) lim lim
xx
f x f xx x x n
fxx
→→
− + +⋅⋅+−
′= =
0
lim( 1)( 2) ( ) 1 2 !
xx x xn nn
→
= + +⋅⋅+ =⋅⋅⋅=
.
方法二：
利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,
( ) ( 1)( 2) ( ) 1 ( 2) ( )fx x x xn x x xn
′=+ +⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++
( 1)( 2) ( 1) 1xx x x n+ + ⋅ ⋅ +−⋅
,
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所以
(0) (0 1)(0 2) (0 ) 0 0fn
′= + + ⋅ ⋅ + ++ +
12 !nn=⋅⋅ ⋅=
.
(5)【答案】
1x−
【解析】由定积分的性质可知,
1
0
()f t dt
∫
和变量没有关系,且
()fx
是连续函数,故
1
0
()f t dt
∫
为一常数,为简化计算和防止混淆,
令
1
0
()f t dt a=
∫
,则有恒等式
() 2fx x a= +
,两边0到1积分得
11
00
() ( 2)f x dx x a dx= +
∫∫
,
即
1
1 11 1
2
0
0 00 0
1
( 2) 2 2
2
a x a dx xdx a dx x a x
=+=+ = +
∫ ∫∫
12
2a= +
,
解之得
1
2
a= −
,因此
() 2 1fx x a x=+=−
.
(6)【答案】
ab=
【解析】如果函数在
0
x
处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等,
由函数连续性可知
(0) (0) 0f f ab a
−= =+⋅=
.
而
00 0
sin sin sin
(0) lim lim lim
xx x
bx bx bx
f bb b
x bx bx
++ +
+→→ →
= = ⋅=⋅ =
,
如果
()fx
在
0x=
处连续,必有
(0) (0)ff
−+
=
,即
ab=
.
(7)【答案】
2
()
dx
xy+
【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得
2
sec y dy dx dy⋅=+
,
所以
22 2
sec 1 tan ( )
dx dx dx
dy y y xy
= = =
++
,(
0xy+≠
).
二、计算题(每小题4分,满分20分.)
(1)【解析】令
x
ue
−
=
,
vx= −
,则
arcsin arcsin
x
ye u
−
= =
,由复合函数求导法则,
22 2
1 1 11
(arcsin ) 2
11 1
vv
y u u ev e x
uu u
−
′′ ′ ′
= = ⋅= ⋅⋅= ⋅⋅
−− −
,
即
2
11
2
1
x
x
ye
x
e
−
−
−
′= ⋅⋅
−
.
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【相关知识点】复合函数求导法则：
( ( ))y fx
ϕ
=
的导数
( ()) ()y fx f x
ϕ
′′ ′
=
.
(2)【解析】利用不定积分的换元积分法,
22
ln 1
ln ln ln
dx d x C
xx x x
= =−+
∫∫
.
(3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,
11
00
lim(2sin cos ) lim[1 (2sin cos 1)]
xx
xx
xx xx
→→
+ =+ +−
1 2sin cos 1
2sin cos 1
0
lim[1 (2sin cos 1)]
xx
xx x
x
xx
+−
⋅
+−
→
=+ +−
,
令
2sin cos 1x xt+ −=
,则当
0x→
时,
0t→
,
则
11
2sin cos 1
00
lim[1 (2sin cos 1)] lim[1 ]
xx t
xt
xx t
+−
→→
+ +− =+
,
这是个比较熟悉的极限,即
1
0
lim(1 )t
tte
→+=
.
所以
0
1 2sin cos 1
lim
0
lim(2sin cos )
x
xx
xx
xx xe
→
+−
→+=
,
而
00
2sin cos 1 2cos sin
lim lim 2
1
xx
x x xx
x
→→
+− −=
洛
,
所以
0
1 2sin cos 1
lim 2
0
lim(2sin cos )
x
xx
xx
xx xe e
→
+−
→+= =
.
(4)【解析】这是个函数的参数方程,
2
2
11
122
1
dy
dy dt t
dx t
dx t
dt t
+
= = =
+
,
22
2 23
2
1 1 11 2 1 1
() () () 2
2 2 2 (2 ) 4
1
d y d d dt d t
dx t
dx dx t dt t dx dt t t t
dt t
−+
= = ⋅= ⋅ = ⋅ =−
+
.
【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果
()
()
xt
yt
φ
ϕ
=
=
,则
()
()
dy t
dx t
ϕ
φ
′
=′
.
(5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分,
11 1
1
2 22 2
0
00 0
1 11
(2 ) (2 ) (2 ) (2 )
2 22
x f x dx x df x x f x f x dx
′′ ′ ′ ′
= =⋅−
∫∫ ∫
分部法
1
0
11 (2) 0 (2 )
2f xf x dx
′′
= ⋅ −−
∫
1
0
11
(2) (2 )
22
f xdf x
′
= − ∫
( )
1
1
00
11 1
(2) (2 ) (2 )
22 2
f xfx fxdx
′
=−−
∫
1
0
1 11
(2) (2) (2 )
2 22
f f f x dx
′
= −+
∫
,
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