2006考研数一参考答案
2023-12-01
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2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题
(1)【答案】2.
【详解】由等价无穷小替换，
0x
时，
2
1
ln(1 ) ,1 cos 2
x x x x
，
2
0 0 2
ln(1 )
lim lim 1
1 cos
2
x x
x x x
xx
=2
(2)【答案】
x
Cxe
.
【详解】分离变量，
(1 )dy y x
dx x
(1 )dy x dx
y x
1
( 1)
dy dx
y x
1dy dx dx
y x
ln lny x x c
ln ln
y x x c
e e
x
y Cxe
(3)【答案】
2
【详解】补一个曲面
2 2 1
:1
x y
z
1
,取上侧，则
1
组成的封闭立体
满足高斯公式，
1
( )
P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy I
x y z
设
, 2 , 3( 1)P x Q y R z
，则
1 2 3 6
P Q R
x y z
∴
I
6dxdydz
(
为锥面
和平面
1
所围区域)
6V
(
V
为上述圆锥体体积)
注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积
V
方法1：
I
6 2
3
(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)
而
1
2 3( 1) 0
xdydz ydzdx z dxdy
(
在
1
上：
1, 0z dz
)
方法2：先二重积分，后定积分.
因为
1
0
V Sdz
，
2 2
r x y
，
2 2 2
r x y
，
2 2
r z
，
2 2
S r z
，
所以
1
12 2
00
1 1
3 3
V z dz z
.从而
6 6 2
3
I V
方法3：利用球面坐标.
1z
在球坐标下为：
1
cos
，
1
22
4 cos
0 0 0 6 sinI d d d
243
0 0
2sin
cos
d d
243
0 0
cos
( 2) cos
d
d
4
22
00
1
( 2) ( )cos
2
d
2
02
d
方法4：利用柱面坐标.
2 1 1
0 0 6
r
I d dr rdz
2 1
0 0
6 (1 )d r rdr
1
22 3
00
1 1
6 ( )
2 3
d r r
2
02d
(4)【答案】
2
【详解】代入点
0 0 0
( , , )P x y z
到平面
0Ax By Cz D
的距离公式
0 0 0
2 2 2
6 4 0 2
9 16 25
Ax By Cz D
dA B C
(5)【答案】
2
【详解】由已知条件
2BA B E
变形得，
2BA E B
( ) 2B A E E
,两边取行列
式,得
( ) 2 4 4B A E E E
其中，
2 1 1 0 1 1 2
1 2 0 1 1 1
A E
，
2
2 2 E 4E
因此，
242
2
E
BA E
.
(6)【答案】
1 9
【详解】根据独立性原理：若事件
1, , n
A A
独立，则
1 2 1 2n n
P A A A P A P A P A
事件
max{ , } 1 1, 1 1 1X Y X Y X Y
，而随机变量
X
与
Y
均服
从区间
[0,3]
上的均匀分布，有
1
0
1 1
13 3
P X dx
和
1
0
1 1
13 3
P Y dy
.又随机变
量
X
与
Y
相互独立，所以，
max( , ) 1 1, 1 1 1P x y P x Y P x P Y
1 1
3 3
1
9
二、选择题.
(7)【答案】
A
【详解】
方法1：图示法.
因为
( ) 0,f x
则
( )f x
严格单调增加；因为
( ) 0,f x
则
( )f x
是凹函数，又
0x
，画
2
( )
f x x
的图形
结合图形分析，就可以明显得出结论：
0dy y
.
方法2：用两次拉格朗日中值定理
0 0 0
( ) ( ) ( )y dy f x x f x f x x
(前两项用拉氏定理)
0
( ) ( )f x f x x
(再用一次拉氏定理)
0
( )( )f x x
,其中
0 0 0
,x x x x
由于
( ) 0f x
，从而
0y dy
.又由于
0
( ) 0dy f x x
，故选
A
方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式：
0 0 0
( ) ( ) ( )( )
f x f x f x x x
( )
2
00
00
( ) ( )
( ) ( )
2! !
nn
n
f x f x
x x x x R
n
，
其中
( 1)
0
0
( ) ( )
( 1)!
n
n
n
f x
R x x
n
.此时
n
取1代入，可得
2
0 0 0
1
( ) ( ) ( ) ( )( ) 0
2
y dy f x x f x f x x f x
又由
0
( ) 0dy f x x
，选
( )A
.
O x0x0+Δx x
y
y=f(x)Δy
dy
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