2004考研数一参考答案
2023-12-01
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一、填空题
(1)【答案】 y =x −1
【详解】方法 1：因为直线 x +y =1的斜率k1 − =1，所以与其垂直的直线的斜率
k2
满足
121k k ，所以 21k
，即21k，
曲线 lny x
上与直线 1 x y 垂直的切线方程的斜率为1，即
1
1
( )
ln
x
y x
，得 1x，把 1x代入 lny x
，得切点坐标为 )0,1( ，根据点斜
式公式得所求切线方程为：
0 1 ( 1) y x
，即 1 y x
方法2：本题也可先设切点为 l )
( , n
0 0
x x ，曲线 lny x
过此切点的导数为 1
1
0
0
x
yx x ，
得1
0
x，所以切点为
00
( ,ln ) 1,0x x ，由此可知所求切线方程为
0 1 ( 1) y x
，
即1 y x .
(2)【答案】2
( )
ln
2
1x
【详解】先求出 ( )f x
的表达式，再积分即可.
方法1：令e t
x，则
x tln
，1
x
et
，于是有 t
t
f t ln
( )
，即
.
ln
( ) x
x
f x
两边积分得 2
ln 1
( ) ln ln (ln )
2
x
f x dx xd x x C
x
.
利用初始条件(1) 0f,代入上式：
2
1
(1) (ln1) 0
2
f C C
，即
0C
，故所
求函数为 ()f x =2
(ln )
2
1x.
方法2：由 lnx
x e
，所以 xx x
f e e
( ) ln
ln x
x x
x
e
e e e
，所以
.
ln
( ) x
x
f x
下同.
(3)【答案】
2
3
【详解】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.
2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
L为正向圆周
2
22 yx
在第一象限中的部分，用参数式可表示为
.
2
0:
,sin2
,cos2
y
x
于是
2
Lxdy ydx
2
02cos 2 sin 2 2 sin 2 cosd d
2
0[2 cos 2 cos 2 2 sin 2 sin ]d
22 2 2 2
2 2
0 0
[2cos 4sin ] [2 cos sin 2sin ]d d
22
2 2 2
0 0 0
[2 2sin ] 2 2sind d d
2
2
00
21 cos2 d
2
22
0 0
0
1 3 1
cos2 2 sin 2
2 2 2
d
31 3 3
sin sin 0 0
2 2 2 2
(4)【答案】 2
21
x
c
x
c
y
【详解】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 t
ex 化为常系数线性齐次微分方程即可.
令t
ex ，有 1
ln , dt
t x dx x
，则
1dy dy dt dy
dx dt dx x dt
，
2
2
1dy d dy
dx dx x dt
2
11dy d dy
d uv vdu udv x dt x dx dt
2
11dy d dy dt
x dt x dt dt dx
22
2 2 2 2 2
1 1 1dy d y d y dy
x dt x dt x dt dt
代入原方程：
2
2
22
1 1
4 2 0
d y dy dy
x x y
x dt dt x dt
，整理得
023
2
2
y
dt
dy
dt
yd ，
此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为232 0r r
，所以特征根为：
12
1, 2r r
，12
r r
，所以 023
2
2
y
dt
dy
dt
yd 的通解为
122
1 2 1 2
r t r t t t
y c e c e c e c e
又因为 t
ex ，所以 2
2
11
,
t t
e e
x x
，代入上式得
212
1 2 2.
t t c c
y c e c e x x
(5)【答案】
9
1
【详解】
方法1：已知等式两边同时右乘
A
，得
**
2ABA A BA A A
，
由伴随矩阵的运算规律：**
A A AA A E
，有 2AB A B A A
，而
21 0
1 2 0
0 0 1
A
332 1
( 1) 1 2
22 1 1
3
，
于是有 ABAB 63 ，移项、合并有
ABEA )63(
，再两边取行列式，由方阵
乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有
(3 6 ) 3 6 3AE B A E B A
，
而
36A E
21 0 1 0 0
3 1 2 0 6 0 1 0
0 0 1 0 0 1
63 0 6 0 0 0 3 0
3 6 0 0 6 0 3 0 0
0 0 3 0 0 6 0 0 3
330 3
( 1) ( 3) ( 3) 3 3
3 0
27
，
故所求行列式为
B
3
36 27
A
A E
1
9
方法2：由题设条件 **
2ABA BA E
，得 **
2ABA BA
*
(2 )A E BA E
由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行
列式，有 **
( 2 ) 2 1A E BA A E B A E
其中
210
120
001
A
332 1
( 1) 1 2
22 1 1
3
；
由伴随矩阵行列式的公式：若
A
是n阶矩阵，则
1n
AA
.
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