2002考研数一参考答案
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2023-12-01
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一、填空题
(1)【答案】 1
【详解】先将其转化为普通定积分，求其极限即得广义积分.
22 2
ee e
ln 1 1
lim lim lim lim 1 1
ln ln ln ln ln
bb
bbbb
b
dx dx d x
e
x x x x xxb
(2)【答案】 -2
【详解】
y
是由
2
61 0
y
e xy x
确定的
x
的函数，两边对
x
求导，
66 2 0,
y
e y xy y x
所以
62,
6
y
y x
ye x
两边再对
x
求导，得
2
(6 ) 6 2 (6 2 )( 6) ,
( 6 )
yy
y
e x y y x e y
ye x
（ ）-
把
0
x
代入，得
(0) 0
y
，
(0) 0
y
，代入
y
，得
(0) 2
y
.
(3)【答案】
1
yx
【详解】方法1：这是属于缺
x
的
(, )
y f y y
类型.命
,dp dp dy dp
y p y p
dx dy dx dy
.
原方程
20
yy y
化为
20
dp
yp p
dy
，得
0
p
或
0
dp
yp
dy
0p
，即
0
dy
dx
，不满足初始条件
1
'02
yx
，弃之；所以
0p
所以，
0
dp
yp
dy
，分离变量得
dy dp
y p
，解之得
1.
C
py
即
1.
C
dy
dx y
由初始条件
1
1, '
0 0 2
y y
x x
，可将
1
C
先定出来：
11
11
,
2 1 2
CC
.于是得
1
2
dy
dx y
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
解之得，
2
22
,
y x C y x C
.以
01
x
y
代入，得
2
1C
，所以应取“+”号
且
21
C
.于是特解是
1yx
.
方法2：将
20
yy y
改写为
() 0
yy
，从而得
1
yy C
.以初始条件
1
(0) 1, (0) 2
y y
代入，有
1
1
12C
，所以得
1
2
yy
.即
21
yy
，改写为
2
() 1
y
.解得
2,
yx C
2
yx C
.再以初值代入，
2
1C
所以应取
""
且
21
C
.于是特
解
1
yx
.
(4)【答案】2
【详解】方法1：二次型
f
的对应矩阵
22
2 2
2 2
a
A a
a
，经正交变换
xPy
，可化成标准
型
2
1
6
fy
，故
P
为正交矩阵，有
1T
PP
，且对实对称矩阵
A
，有
6
0
0
T
PAP
，故
1
6
0
0
T
PAP P AP
，即
60 0
000
000
A
因为矩阵的
n
个特征值之和等于它的主对角元素之和，
33
1 1
3
ii i
ii
a a
，相似矩阵
具有相同的特征值，
3
1
60 0 6
i
i
故有
36
a
，得
2
a
.
方法2：二次型
f
的对应矩阵
22
2 2
2 2
a
A a
a
，经正交变换
xPy
，可化成标准型
2
1
6
fy
，
故
P
为正交矩阵，有
1T
PP
，且对实对称矩阵
A
，有
1
6
0
0
T
PAP P AP
，即
60 0
000
000
A
相似矩阵具有相同的特征值，知0是
A
的特征值，根据特征值的定义，有
00
E A A
22
2 2
2 2
a
A a
a
42 2
2 3 1 4 2
42
a
a a
a a
把第，列加到第列
12 2
1( 4) 1 2
1 2
aa
a
提取第列
的公因子
12 2
2 1 ( 4) 0 2 0
3 1 0 0 2
a a
a
行 行
行 行
2
(4)( 2) 0
a a
，
得
4a
或
2a
，(1)
又6是
A
的特征值，根据特征值的定义，有
60
E A
，由
62 2 6 2 2
6 6 2 2 2 6 2
6 2 2 2 2 6
aa
E A a a
aa
(对应元素相减)
两边取行列式，
62 2
6 2 6 2
2 2 6
a
E A a
a
22 2
2 3 1 2 6 2
2 2 6
a
a a
aa
把第，列加到第列
12 2
1(2 ) 1 6 2
1 2 6
a a
a
提取第列
的公因子
12 2
2 1 (2 ) 0 8 0
3 1 0 0 8
a a
a
行 行
行 行
2
(2 )(8 ) 0
a a
得
2
a
或
8
a
(2)
因为(1)，(2)需同时成立，取它们的公共部分，得
2
a
.
方法3：
f
的对应矩阵为
22
2 2
2 2
a
A a
a
，经正交变换
xPy
，可化成标准型
2
1
6
fy
，
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