2001考研数一参考答案
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2023-12-01
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一、填空题
(1)【答案】
22 0y y y
.
【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程
0ypy qy
的通解为
12
( sin cos )
x
ye c x c x
时，则特征方程
20
rpr q
对应的两个根为一对共轭复
根：
1,2 i
，所以根据题设
12
( sin cos )
x
ye c x c x
(
12
,
c c
为任意常数)为某二阶常
系数线性齐次微分方程的通解，知：
1, 1
，特征根为
1,2
i
1,i
从而对应
的特征方程为：
2
(1 ) (1 ) 2 2 0,i i
于是所求二阶常系数线性齐次
微分方程为
22 0
y y y
.
(2)【答案】
2.
3
【分析】若
,,r x y z
具有连续的一阶偏导数，梯度
gradr
在直角坐标中的计算公式为：
rr r
gradr i j k
x y z
设
,, , , , , , ,
A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k
，其中
,,
P Q R
具有一阶连续偏
导数，散度
divA
在直角坐标中的计算公式为：
PQ R
divA x y z
若
,,r x y z
具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：
22 2
2 2 2
( ) r r r
div gradr x y z
【详解】本题实际上是计算
22 2
2 2 2
r r r
x y z
r
x
22 2
x y z
x
22 2
2
2
x
x y z
22 2
x
x y z
x
r
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
2
2
r
x
x
xr
2
r
rxx
r
2
x
rx
r x r
x r r
22
3
r x
r
类似可得
ry
y r
，
2
2
r
y
22
3
r y
r
；
rz
z r
，
2
2
r
z
22
3
r z
r
根据定义有
()div gradr
22 2
2 2 2
r r r
x y z
22 2 2 2 2
3 3 3
r x r y r z
r r r
22 2 2
3
3r x y z
r
22
3
3r r
r
2
3
2r
r
2
r
22 2
2
x y z
于是
(1, 2,2)
( ) |div gradr
22 2
1, 2,2
2
x y z
22 2
2 2
3
1 ( 2) 2
(3)【答案】
21
1 0 ( , ) .
x
dx f x y dy
【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，
如图阴影部分.但在
10y
内，
21y
，
题设的二次积分并不是
(, )f x y
在某区域上的二重积分，
因此，应先将题设给的二次积分变形为：
01 0 2
1 2 1 1
( , ) ( , ) ,
y
y
dy f x y dx dy f x y dx
其中
(, ) 1 0,1 2 ,
D x y y y x
再由图所示，又可将
D
改写为
(, ) 1 2,1 0 ,D x y x x y
于是
01
1 2 ( , )
y
dy f x y dx
02
1 1 ( , )
y
dy f x y dx
20
1 1 ( , )
x
dx f x y dy
21
1 0 ( , ) .
x
dx f x y dy
(4)【答案】
1( 2 ).
2A E
【详解】要求
()A E
的逆，应努力把题中所给条件化成
()A E B E
的形式.
由题设
240
A A E
222A A E E
22A E A E E
O
x
y
x+y=1
x=2
1
即
12,
2
A E A E E
故
112
2
A E A E
.
(5)【答案】
12
【分析】切比雪夫不等式：
2
()
( ) D X
P X E X
【详解】根据切比雪夫不等式有
22
( ) 2 1
( ) 2 22 2
D X
P X E X
二、选择题
(1) 【答案】(D)
【详解】从题设图形可见，在
y
轴的左侧，曲线
()
y f x
是
严格单调增加的，因此当
0x
时，一定有
'( ) 0f x
，对应
()
y f x
图形必在
x
轴的上方，由此可排除(A)，(C)；
又
()y f x
的图形在
y
轴右侧靠近
y
轴部分是单调增，所以在这一段内一定有
'( ) 0
f x
，对应
()
y f x
图形必在
x
轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).
(2)【答案】(C)
【详解】题目仅设函数
(, )
f x y
在点
(0,0)
附近有定义及
''
(0,0) 3, (0,0) 1,
x y
f f
未设
(, )
f x y
在点
(0,0)
可微，也没设
(, )
z f x y
，所以谈不上
dz
，因此可立即排除(A)；
令
(, , ) ( , )
F x y z z f x y
，则有
'' ' ' '
, , 1
x x y y z
F f F f F
.因此过点
(0,0, (0,0))
f
的法向量为
'' '
, ,
x y z
F F F
''
, ,1
x y
f f
±{−3,−1,1} ，可排除(B)；
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