2000考研数一参考答案
2023-12-01
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2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题
(1)【答案】
4
【详解】
11
2 2
0 0
2 1 ( 1)
Ix x dx x dx
解法1：用换元积分法：设
1sin
x t
，当
0
x
时，
sin 1
t
，所以下限取
2
；当
1
x
时，
sin 0
t
，所以上限取
0
.
所以
1sin 0
2
cos
x t
I cost tdt
由于在区间
[ ,0]
2
，函数
cost
非负，则
022
2
0
2
cos cos 4
I tdt t
解法2：由于曲线
22
2 1 ( 1)
y x xx
是以点
(1,0)
为圆心，以1为半径的上半圆
周，它与直线
1
x
和
0
y
所围图形的面积为圆面积的
1
4
，故答案是
4
(2)【答案】
12 2.
1 4 6
x y z
【详解】曲面方程
(, , ) 0
F x y z
在点
),,( 000 zyx
的法矢量为：
00 0 0 0 0 0 0 0
{ ( , , ), ( , , ), ( , , )}
xyz
n F x y z F x y z F x y z
令
22 2
( , , ) 2 3 21,
F x y z x y z
则有
1, -2, 2
1, -2, 2
1, -2, 2
' 1, -2, 2 2 | 2,
' 1, -2, 2 4 | 8,
' 1, -2, 2 6 | 12.
x
y
z
Fx
Fy
Fz
所以曲面在点
(1, 2,2)
处的法线方程为：
12 2.
2 8 12
x y z
即
12 2.
1 4 6
x y z
(3)【答案】
12
2
C
y C
x
【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于
"( , ')
y f x y
型的微分方程.
【详解】令
'py
，有
"dp
ydx
.原方程化为：
30
dp
x p
dx
，
30
dp p
dx x
分离变量：
3
dp dx
p x
两端积分：
1
3ln 3ln
dp dx px C
p x
从而
111 1
3
3ln 3ln
3
1
xCx
CCC
pe e e e x e
x
因
1
20
C
Ce
记
是大于零的任意常数，上式可写成
2
3
C
px
；
记
32
C C
，
3
3
C
px
，便得方程的通解
3
3
pC x
，
即
33
3 3
dy C x dy C x dx
dx
，其中
3
C
是任意常数
对上式再积分，得：
32
35 3
34 4 5
2,
2 2
C C C
y C x dx x C C C
x
所以原方程的通解为：
12
2
C
yC
x
(4)【答案】
1.
【详解】化增广矩阵为阶梯形，有
12 1 1 1 2 1 1
2 3 2 3 0 1 1
1 2 0 0 2 3 1
aa
aa
12 1 1
0 1 1
00( 3)( 1) 3
a
a a a
当a= −1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，根据方程组解的判定，其系数矩
阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解.
当a= 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增
广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解.
(5)【答案】
23
(由
,
AB
独立的定义：
() ()()
PAB P A P B
)
【详解】由题设，有
1
() , ( ) ( )
9
P AB P AB P AB
因为
A
和
B
相互独立，所以
A
与
B
，
A
与
B
也相互独立.
于是由
() ( ),
P ABP AB
有
() ( ) ( ) ( )
P A P B P A P B
即有
() 1 ( ) 1 ( ) ( )
P A P B P A P B
,
可得
() ( )
P A P B
，
() ( )
P A P B
从而
221
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ,
9
P AB P A P B P A P A
解得
2
() .
3
P A
二、选择题
(1)【答案】A
【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数.题设中已知
'( ) ( ) ( ) '( ) 0,
f x g x f x g x
想到设函数为相除的形式
()
( )
f x
g x
.
【详解】
设
()
( ) ( )
f x
F x gx
，则
2
'( ) ( ) ( ) '( )
( ) 0,
( )
f x g x f x g x
F x g x
则
()
F x
在
ax b
时单调递减，所以对
ax b
，
() ( ) ( )
FaF x F b
，即
() ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f a f x f b
g a g x g b
得
() ( ) ( ) ( ),
f x g b f b g x
ax b
，
()
A
为正确选项.
(2)【答案】C
【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有：
性质1：设
(, , )
f x y z
在分块光滑曲面
S
上连续，
S
关于
yoz
平面对称，则
1
0( , , )
( , ,)2 ( , , ) ( , , )
S
S
f x y z x
f x y z dS f x y z dS f x y z x
若 关于为奇函数
若 关于为偶函数
其中
1{0}
S S x
.
性质2：设
(, , )
f x y z
在分块光滑曲面
S
上连续，
S
关于
xoz
平面对称，则
1
0( , , )
( , ,)2 ( , , ) ( , , )
S
S
f x y z y
f x y z dS f x y z dS f x y z y
若 关于为奇函数
若 关于为偶函数
其中
1{0}
S S y
.
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