1999考研数一参考答案
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2023-12-01
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一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.)
(1)【答案】
1.
3
【分析】利用
0
x
的等价变换和洛必达法则求函数极限.
【详解】
方法1：
22 3
0 0 0
1 1 tan tan
lim lim tan lim
tan tan
xxx
x x x x
x x
x x x x x x
2
2
0
sec 1
lim 3
x
x
x
洛
2
2
0
tan
lim 3
x
x
x
2
2
0
1
tan lim 3 3
x
x
x x x
方法2：
22 2
0 0 0
1 1 1 cos sin cos
lim lim lim
tan sin sin
xxx
x x x x
x x x x x x x x
32
0 0
sin cos cos cos sin
sin lim lim 3
xx
x x x x x x x
x x xx
洛
0
sin 1
lim 3 3
x
x
x
(2)【答案】
2
sin x
【分析】欲求
(, )
b
a
dx t dt
dx
，唯一的办法是作变换，使含有
(, )
x t
中的
x
“转移”到
之外
【详解】令
ux t
，则
dt du
，所以有
0
22
0sin( ) sin
x
x
dd
x t dt u du
dx dx
22
0sin sin
x
du du x
dx
(3)【答案】
22
1 2
1,
4
xx
y C e C x e
其中
12
,
C C
为任意常数.
【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.
【详解】原方程对应齐次方程
"4 0
y y
的特征方程为：
240,
解得
12
2, 2
，故
"4 0
y y
的通解为
22
1 1 2 ,
x x
y C e C e
由于非齐次项为
2
() ,
x
f x e
因此原方程的特解可设为
*2,
x
y Axe
代入原方程可求得
1
4
A
，故所求通解为
*2 2
1 1 2
1
4
xx
y y y C e C x e
(4)【详解】因为
1999年全国硕士研究生入学统一考试数一试题解析
EA
11 ... 1
1 1 ... 1
... ... ... ...
1 1 ... 1
(对应元素相减)
两边取行列式，
11 ... 1
1 1 ... 1
... ... ... ...
1 1 ... 1
E A
1... 1
2 1 ... 1
... ... ... ...
1
1 ... 1
n
n n
n
把第，，列
加到第列
11 ... 1
1 1 1 ... 1
( ) ... ... ... ...
1 1 ... 1
n
提取第列
的公因子
211 1 ... 1
0 ... 0
3 1 ( ) ... ... ... ...
0 0 ...
1
n
n
行 行
行 行
行 行
-1( )
nn
令
-1( ) 0
n
E A n
，得
12
(1 0(( 1)
nn
重)， 重)
，故矩阵A的n个特征值
是n和0(
(-1)
n
重)
(5)【答案】
14
【详解】根据加法公式有
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC
因为
() ( ) ( )
P A P B P C
，设
() ( ) ( )
P A P B P C p
由于
,,
A B C
两两相互独立，所以有
2
() ()()
P AB P A P B p p p
，
2
() ( ) ( )
P AC P A P C p p p
，
2
() ( ) ( )
P BC P B P C p p p
，
又由于
ABC
，因此有
() ( ) 0,
P ABC P
所以
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC
22 2 0
p p p p p p
2
33
p p
又
9
()16
P A B C
，从而
29
() 3 3 16
P A B C p p
，则有
29
33 0
16
p p
230
16
pp
，解得
31
4 4
p
或p
因
1
( ) ( ) ( ) 2
P A P B P C p
，故
1
4
p
，即
1
( ) 4
P A
二、选择题
(1)【答案】( A )
【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.
()
f x
的原函数
()
F x
可以表示为
0
() ( ) ,
x
F x f t dt C
于是
00
( ) ( ) ( ) .
u t
xx
F x f t dt C f u d u C
当
()
f x
为奇函数时，
() ( )
f u f u
，从而有
00
( ) ( ) ( ) ( )
xx
F x f u du C f t dt C F x
即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.
(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：
2
()
f x x
是偶函数，但其原函数
3
1
() 1
3
F x x
不是奇函数，可排除(B)；
2
() cos
f x x
是周期函数，但其原函数
11
( ) sin 2
2 4
F x x x
不是周期函数，可排除(C)；
()
f x x
在区间
(, )
内是单调增函数，但其原函数
2
1
( ) 2
F x x
在区间
(, )
内
非单调增函数，可排除(D).
(2)【答案】( D )
【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.
因为
2
00 0
1
( ) (0) 1 cos 2
(0) lim lim lim 0,
0
xxx
x
f x f x
fxx x x x
2
000
( ) (0) ( )
(0) lim lim lim ( ) 0,
0
xxx
f x f x g x
f xg x
x x
从而，
(0)
f
存在，且
(0) 0
f
，故正确选项为(D).
(3)【答案】( C )
【详解】由题设知，应先将
()
f x
从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作
周期(周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，
51 1 1
( ) ( 2 ) ( ) ( )
2 2 2 2
S S S S
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