1997考研数一参考答案
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1
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
(1)【答案】
3
2
【分析】这是
0
0
型极限.注意两个特殊极限
0 0
sin ln(1 )
lim 1,lim 1
x x
x x
x x
.
【解析】将原式的分子、分母同除以
x
,得
2
00
1 sin 1
3sin cos 3 cos 3
lim lim .
ln(1 )
(1 cos )ln(1 ) 2
(1 cos )
x x
x
x x x
x x x
x
x x xx
评注：使用洛必达法则的条件中有一项是
0
( )
lim ( )
x x
f x
g x
应存在或为
,而本题中,
2
0 0
1 1 1
(3sin cos ) 3cos 2 cos sin
lim lim 1 cos
(1 cos )ln(1 ) sin ln(1 ) 1
x x
x x x x
x x xx
x x x x x
极限不存在,也不为
,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.
【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量.
(2)【答案】
( 2,4)
【解析】考察这两个幂级数的关系.令
1t x
,则
1 2 1 2
1 1 1
n n n
n n n
n n n
na t t na t t a t
.
由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,
1
n
n
n
a t
的收敛半径为3
1
n
n
n
a t
的收敛半径为3.从而
2 1
1 1
n n
n n
n n
t a t na t
的收敛半径为3,收敛区间即
(-3,3),回到原幂级数
1
1
( 1)n
n
n
na x
,它的收敛区间为
3 1 3x
,即
( 2,4)
.
评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点.
对于
0
n
n
n
a x
,若
1
lim n
nn
a
a
它的收敛半径是
1
R
.但是若只知它的收敛半径
为
R
,则
11
lim n
nn
a
a R
,因为
1
lim n
nn
a
a
可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).
(3)【答案】
2
x y e
【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率
x
k y
,而
x
y
可由
e
的参数方程
2
cos cos ,
sin sin
x e
y e
求得：
2
sin cos sin cos , 1
cos sin cos sin
x x
ye e
yy
x e e
,
所以切线的方程为
2( 0)
y e x
,即
2
x y e
.
评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.
(4)【答案】
3t
【解析】由
0AB
,对
B
按列分块,设
1 2 3
, ,B
,则
1 2 3 1 2 3
, , , , 0,0,0
AB A A A A
,
即
1 2 3
, ,
是齐次方程组
0Ax
的解.
又因
B O
,故
0Ax
有非零解,那么
1 2 2 1 0 2
4 3 4 3 3 7 3 0
3 1 1 3 0 1
A t t t
,
由此可得
3
t
.
评注：若熟悉公式
0AB
,则
( ) ( ) 3r A r B n
,可知
( ) 3r A
,亦可求出
3t
.
(5)【答案】
2
5
【解析】方法1：利用全概率公式.
求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用
全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题.
设事件
i
A
“第
i
个人取得黄球”,
1,2i
,则完全事件组为
1 1
,A A
(分别表示第一个人
取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知
1
20 2
50 5
P A
黄球的个数
球的总数
；
1
30 3
50 5
P A
白球的个数
球的总数
；
2 1
20 1 19
|50 1 49
P A A
(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成
20 1 19
,球
的总数变成
50 1 49
,第二个人取得黄球的概率就为
19
49
)；
2 1
20
|49
P A A
(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为20,球的总数变成
50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为
20
49
).
故应用全概率公式
2 1 2 1 1 2 1
2 19 3 20 2
| | 5 49 5 49 5
P A P A P A A P A P A A
.
3
方法二：利用“抽签原理”.
只考虑第二个人取得的球,这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个
人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的,
这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有20个,所以第二个人取到黄球的概率为
20 2
50 5
.
【相关知识点】1.全概率公式:
2 1 2 1 1 2 1
| |P A P A P A A P A P A A
；
2.古典型概率公式：
( ) i
i
A
P A 有利于事件的样本点数
样本空间的总数
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)【答案】(C)
【解析】这是讨论
( , )f x y
在
(0,0)
点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义
00
(0,0) (0,0)
( ,0) , (0, )
xy
f d f d
f x f y
x dx y dy
,
由于
( ,0) 0( ), (0, ) 0( )f x x f y y
,
偏导数且
(0,0) (0,0)
0, 0
f f
x y
.
再看
( , )f x y
在
(0,0)
是否连续？由于
2
2 2
( , ) (0,0) 0
1
lim ( , ) lim (0,0)
2
x y x
y x
x
f x y f
x x
,
因此
( , )f x y
在
(0,0)
不连续.应选(C).
评注：①证明分段函数在某点连续,一般要用定义证,有难度.证明分段函数
( , )f x y
在某点
0 0 0
( , )M x y
不连续的方法之一是：证明点
( , )x y
沿某曲线趋于
0
M
时,
( , )f x y
的极限不存在
或不为
0 0
( , )f x y
.
②证明
0 0
( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y f x y
不存在的重要方法是证明点
( , )x y
沿两条不同曲线趋于
0 0 0
( , )
M x y
时,
( , )f x y
的极限不想等或沿某条曲线趋于
0
M
时,
( , )f x y
的极限不存在.
对于该题中的
( , )f x y
,若再考察
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
0
0
1
lim ( , ) lim0 0 lim ( , )
2
x y x y
y
x y x
f x y f x y
,
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y f x y
不存在.
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