1996考研数一参考答案
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2023-12-01
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1
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
ln 2
【解析】这是
1
型未定式求极限.
方法一：
3
3
2 3
lim( ) lim(1 )
x a ax
xa x a
x x
x a a
x a x a
,
令
3at
x a
,则当
x
时,
0t
,
则
1
3
0
3
lim(1 ) lim(1 )
x a
a t
x t
at e
x a
,
即
33
lim lim 3
1
2
lim( ) xx
ax a
xa
x a
x
x a e e e
x a
.
由题设有
38
a
e
,得
1ln8 ln 2
3
a
.
方法二：
2
2
23
( )
2 2
21 lim 1
1
2
lim lim lim
11lim 1
x
x a
xa
xa
xa
x x a
x x x a
a
x
aa
a
x a e
xx
xe
a
x a e
aa
xxx
,
由题设有
38
a
e
,得
1ln8 ln 2
3
a
.
(2)【答案】
2 2 3 0x y z
【解析】方法一：所求平面过原点
O
与
0(6, 3,2)M
,其法向量
06, 3,2n OM
；
平面垂直于已知平面
4 2 8x y z
,它们的法向量也互相垂直：
04, 1,2n n
；
由此,
0 0
// 6 3 2 4 4 6
4 1 2
i j k
n OM n i j k
.
取
2 2 3n i j k
,则所求的平面方程为
2 2 3 0x y z
.
方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点
0(6, 3,2)M
的向量
06, 3,2OM
,另一是平面
4 2 8x y z
的法向量
04, 1,2n
)平行的平面,
2
即
6 3 2 0
4 1 2
x y z
,即
2 2 3 0x y z
.
(3)【答案】
1 2
( cos sin 1)
x
e c x c x
【解析】微分方程
2 2 x
y y y e
所对应的齐次微分方程的特征方程为
22 2 0
r r
,解之得
1,2 1r i
.故对应齐次微分方程的解为
1 2
( cos sin )
x
y e C x C x
.
由于非齐次项
, 1
x
e
不是特征根,设所给非齐次方程的特解为
*( ) x
y x ae
,代入
2 2 x
y y y e
得
1a
(也不难直接看出
*( ) x
y x e
),故所求通解为
1 2 1 2
( cos sin ) ( cos sin 1)
x x x
y e C x C x e e C x C x
.
【相关知识点】①二阶线性非齐次方程解的结构：设
*( )y x
是二阶线性非齐次方程
( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x
的一个特解.
( )Y x
是与之对应的齐次方程
( ) ( ) 0y P x y Q x y
的通解,则
*
( ) ( )y Y x y x
是非齐次方程的通解.
②二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
( )Y x
,可用特征方程法求解：即
( ) ( ) 0y P x y Q x y
中的
( )P x
、
( )Q x
均是常数,方程
变为
0y py qy
.其特征方程写为
20r pr q
,在复数域内解出两个特征根
1 2
,r r
；
分三种情况：
(1)两个不相等的实数根
1 2
,r r
,则通解为
12
1 2 ;
rx r x
y C e C e
(2)两个相等的实数根
1 2
r r
,则通解为
1
1 2 ;
rx
y C C x e
(3)一对共轭复根
1,2
r i
,则通解为
1 2
cos sin .
x
y e C x C x
其中
1 2
,
C C
为常数.
③对于求解二阶线性非齐次方程
( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x
的一个特解
*( )
y x
,可用待
定系数法,有结论如下：
如果
( ) ( ) ,
x
m
f x P x e
则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
*( ) ( )
k x
m
y x x Q x e
的特解,其中
( )
m
Q x
是与
( )
m
P x
相同次数的多项式,而
k
按
不是特征方程的根、是特征方
程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果
( ) [ ( )cos ( )sin ]
x
l n
f x e P x x P x x
,则二阶常系数非齐次线性微分方程
3
( ) ( ) ( )y p x y q x y f x
的特解可设为
* (1) (2)
[ ( )cos ( )sin ]
k x
m m
y x e R x x R x x
,
其中
(1) ( )
m
R x
与
(2) ( )
m
R x
是
m
次多项式,
max ,m l n
,而
k
按
i
(或
i
)不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为
0
或
1
.
(4)【答案】
1
2
【分析】先求方向
l
的方向余弦和
, ,
uuu
x y z
,然后按方向导数的计算公式
cos cos cos
u u u u
l x y z
求出方向导数.
【解析】因为
l
与
AB
同向,为求
l
的方向余弦,将
3 1, 2 0,2 1 2, 2,1AB
单位化，即得
12, 2,1 cos ,cos ,cos
3
| |
AB
lAB
.
将函数
2 2
ln( )u x y z
分别对
, ,x y z
求偏导数得
2 2
(1,0,1)
1 1
2
A
u
xx y z
,
2 2 2 2
(1,0,1)
0
( )
A
u y
yx y z y z
,
2 2 2 2
(1,0,1)
1
2
( )
A
uz
zx y z y z
,
所以
cos cos cos
A A A
A
u u u u
l x y z
1 2 2 1 1 1
0 ( )
2 3 3 2 3 2
.
(5)【答案】
2
【解析】因为
1 0 2
0 2 0 10 0
1 0 3
B
,所以矩阵
B
可逆,故
( ) ( ) 2r AB r A
.
【相关知识点】
( ) min( ( ), ( ))r AB r A r B
.若
A
可逆,则
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