1995考研数一参考答案
2023-12-01
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1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
6
e
【解析】这是
1
型未定式求极限,
2 1 2
3
sin 3 sin
00
lim(1 3 ) lim(1 3 ) x
xx x
xx
x x
,
令
3x t
,则当
0x
时,
0t
,所以
1 1
3
0 0
lim(1 3 ) lim(1 )
x t
x t
x t e
,
故
0 0
26 6
lim 6lim 6
sin sin sin sin
0 0
lim(1 3 ) lim x x
x x x
x x x x
xx
x e e e e
.
(2)【答案】
2
02 2 4
cos 2 cos
xt dt x x
【解析】
2 2
00
2 2
cos cos
x x
d d
x t dt x t dt
dx dx
2
02
2 2
cos cos 2
xt dt x x x
2
02 2 4
cos 2 cos
xt dt x x
.
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
x
x
df t dt f x x f x x
dx
.
(3)【答案】
4
【解析】利用向量运算律有
[( ) ( )] ( )a b b c c a
[( ) ] ( ) [( ) ] ( )a b b c a a b c c a
( ) ( ) ( ) ( )a b b b c a a c b c c a
(其中
0b b
)
( ) ( ) ( ) ( )a b c a b a a c c b c a
( ) ( )a b c b c a
()()4a b c a b c
.
(4)【答案】
3
【解析】令
2 1
2 ( 3)
n
nn n
n
a x
,则当
n
时,有
2( 1) 1
1 1
1
2 1
2 2
1
1 1
1
2 ( 3)
lim lim
2 ( 3)
2
3 ( 1)
3
1 1
lim ,
3
2
3 ( 1)
3
n
n n
n
nnn
n
n n
n
n n
n
nn n
nx
a
anx
n
x x
n
而当
2
11
3x
时,幂级数收敛,即
| | 3x
时,此幂级数收敛,当
2
11
3x
时,即
| | 3x
时,此
幂级数发散,因此收敛半径为
3R
.
(5)【答案】
3 0 0
0 2 0
0 0 1
【解析】在已知等式
16A BA A BA
两边右乘以
1
A
,得
16A B E B
,即
1
( ) 6A E B E
.
因为
1
3 0 0
0 4 0
007
A
,所以
1 1
6( ) 6B A E
1
200
0 3 0
0 0 6
=
3 0 0
0 2 0
0 0 1
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(C)
【解析】这是讨论直线
L
的方向向量与平面
的法向量的相互关系问题.
直线
L
的方向向量
1 3 2 28 14 7 7(4 2 )
2 1 10
i j k
l i j k i j k
,
平面
的法向量
4 2n i j k
,
l n
,
L
.应选(C).
(2)【答案】(B)
【解析】由
( ) 0f x
可知
( )f x
在区间
[0,1]
上为严格单调递增函数,故
(1) ( ) (0) ,(0 1)f f x f x
由微分中值定理,
(1) (0) ( ),(0 1)f f f
.所以
(1) (1) (0) ( ) (0)f f f f f
,
(0 1)
故应选择(B).
(3)【答案】(A)
【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要
条件.充分性:因为
(0) 0f
,所以
0 0 0 0
( )(1 sin )
( ) (0) ( ) ( ) (0)
lim lim lim lim (0)
x x x x
f x x
F x F f x f x f f
x x x x
,
由此可得
( )F x
在
0x
处可导.
必要性:设
( )
F x
在
0x
处可导,则
( ) sinf x x
在
0x
处可导,由可导的充要条件知
0 0
( ) sin ( ) sin
lim lim
x x
f x x f x x
x x
. ①
根据重要极限
0
sin
lim 1
x
x
x
,可得
0 0
sin sin
lim lim 1
x x
xx
x x
,
0 0
sin sin
lim lim 1
x x
xx
x x
, ②
结合①,②,我们有
(0) (0)f f
,故
(0) 0f
.应选(A).
(4)【答案】(C)
【解析】这是讨论
1n
n
u
与
2
1n
n
u
敛散性的问题.
1 1
1
( 1) ln 1
n
n
n n
un
是交错级数,显然
1
ln(1 )
n
单调下降趋于零,由莱布尼
兹判别法知,该级数收敛.
正项级数
2 2
1 1
1
ln 1
n
n n
un
中,
2
2 2 1 1 1
ln 1 ~
n
un
n n
.
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