1994考研数一参考答案
2023-12-01
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1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
1
6
【解析】原式变形后为“
0
0
”型的极限未定式,又分子分母在点
0
处导数都存在,所以连
续应用两次洛必达法则,有
原式
2
0
cos ( sin )
lim sin
x
x x x
x x
3
0 0
sin
limcos lim
x x
x x
xx
2
0 0
1 cos sin 1
lim lim
3 6 6
xx
x x
x x
. (由重要极限
0
sin
lim 1
x
x
x
)
(2)【答案】
2 4 0x y
【解析】所求平面的法向量
n
为平行于所给曲面在点
(1,2,0)
处法线方向的方向向量
l
,
取
n l
,又平面过已知点
(1,2,0)M
.
已知平面的法向量
( , , )A B C
和过已知点
0 0 0
( , , )x y z
可唯一确定这个平面：
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
.
因点
(1,2,0)
在曲面
( , , ) 0F x y z
上.曲面方程
( , , ) 2 3
z
F x y z z e xy
.
曲面在该点的法向量
(1,2,0)
(1,2,0)
, , 2 ,2 ,1 4,2,0 2 2,1,0
z
FFF
n y x e
x y z
,
故切平面方程为
2( 1) ( 2) 0x y
,即
2 4 0x y
.
(3)【答案】
2
2
e
【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先
求
u
y
,再求
u
x y
.
2cos
x
u x x
e
y y y
,
2 2 2
1
1 1 2
(2, ) (2, ) 2
cos
x
yx
x
u u u xe x
x y y x x y x
2
2
22
( (1 )cos ) 0
x
x
e x x e
.
(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)
【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数
( , ), ( , )u x y v x y
都在点
( , )x y
具
有对
x
及对
y
的偏导数,函数
( , )z f u v
在对应点
( , )u v
具有连续偏导数,则复合函数
( ( , ), ( , ))z f x y x y
在点
( , )x y
的两个偏导数存在,且有
1 2
z z u z v u v
f f
x u x v x x x
；
1 2
z z u z v u v
f f
y u y v y y y
.
(4)【答案】
4
2 2
1 1
( )
4Ra b
【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：
原式
2 2 2 2
2 2
2 3
2 2 2 2
0 0 0 0
cos sin cos sin
R R
d r rdr d r dr
a b a b
.
注意：
2 2
2 2
0 0
cos sind d
,
则 原式
4 4
2 2 2 2
1 1 1 1 1
4 4
R R
a b a b
.
(5)【答案】
1
1 1
12 3
2
3 2 1 3
3
3 1
2
n
【解析】由矩阵乘法有结合律,注意
1
1 1
1, , 2 3
2 3 3
T
是一个数,
而
1 1
12 3
11 1 2
2 1, , 2 1
2 3 3
33
3 1
2
T
A
,(是一个三阶矩阵)
于是,
( )( )( ) ( )
n T T T T T T T T
A
11
1 1
12 3
2
3 3 2 1 3
3
3 1
2
n T n
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.
由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分
为0,故
0M
,且
由定积分的性质,如果在区间
,a b
上,被积函数
( ) 0f x
,则
( ) 0 ( )
b
af x dx a b
.
所以
4
2
0
2 cos 0N xdx
,
4
2
0
2 cos 0Pxdx N
.
因而
P M N
,应选(D).
(2)【答案】(D)
【解析】
( , )f x y
在点
0 0
( , )x y
连续不能保证
( , )f x y
在点
0 0
( , )x y
存在偏导数
0 0
( , ),
x
f x y
0 0
( , )
y
f x y
.反之,
( , )f x y
在点
0 0
( , )x y
存在这两个偏导数
0 0
( , ),
x
f x y
0 0
( , )
y
f x y
也不能保
证
( , )f x y
在点
0 0
( , )x y
连续,因此应选(D).
二元函数
( , )f x y
在点
0 0
( , )x y
处两个偏导数存在和在点
0 0
( , )x y
处连续并没有相关性.
(3)【答案】(C)
【解析】考查取绝对值后的级数.因
2 2
22
2
( 1) | | 1 1 1 1 1
2 2 2 2
n
nn n
aa a
n n
n
,
(第一个不等式是由
2 2
1
0, 0, ( )
2
a b ab a b
得到的.)
又
2
1n
n
a
收敛,
2
1
1
2
nn
收敛,(此为
p
级数：
1
1
p
nn
当
1p
时收敛；当
1p
时发散.)
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