1993考研数一参考答案
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4
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
1
04
x
【解析】由连续可导函数的导数与
0
的关系判别函数的单调性.
将函数
1
1
( ) (2 ) ,
x
F x dt
t
两边对
x
求导,得
1
( ) 2
F x x
.
若函数
( )F x
严格单调减少,则
1
( ) 2 0F x x
,即
1
2
x
.
所以函数
( )F x
单调减少区间为
1
04
x
.
【相关知识点】函数的单调性：设函数
( )y f x
在
[ , ]a b
上连续,在
( , )a b
内可导.
(1)如果在
( , )a b
内
( ) 0f x
,那么函数
( )y f x
在
[ , ]a b
上单调增加；
(2)如果在
( , )a b
内
( ) 0f x
,那么函数
( )y f x
在
[ , ]a b
上单调减少.
(2)【答案】
10, 2, 3
5
【解析】先写出旋转面
S
的方程：
2 2 2
3( ) 2 12
x z y
.
令
2 2 2
( , , ) 3( ) 2 12F x y z x z y
.
则
S
在点
( , , )x y z
的法向量为
, , 6 ,4 ,6
FFF
n x y z
x y z
,
所以在点
(0, 3, 2)
处的法向量为
0,4 3,6 2 2 0,2 3,3 2n
.
因指向外侧,故应取正号,单位法向量为
02 2
2
2 0,2 3,3 2 1 1
0,2 3,3 2 0, 2, 3
| | 30 5
0 4 3 6 2
n
nn
.
(3)【答案】
2
3
5
【解析】按傅式系数的积分表达式
1( )sin
n
b f x nxdx
,
所以
2 2
3
11
( )sin3 sin3 sin3
b x x xdx x xdx x xdx
.
因为
2sin3
x x
为奇函数,所以
2sin3 0x xdx
；
sin 3x xdx
为偶函数,所以
30
sin3 2 sin3b x xdx x xdx
0 0
0
1 2 2
2 ( cos3 ) cos3 cos3
3 3 3
x
xd x x xdx
0
2 2 sin 3 2
3 3 3 3
x
.
(4)【答案】
2 2 2
1
x y z
【解析】先计算
u
的梯度,再计算该梯度的散度.
因为
grad u u u
u i j k
x y z
,
所以
222
2 2 2
(grad ) , ,
u u u u u u
div u div x y z x y z
.
数量场
2 2 2
lnu x y z
分别对
, ,x y z
求偏导数,得
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2
2
u x x
x x y z
x y z x y z
,
由对称性知
2 2 2
u y
y x y z
,
2 2 2
u z
z x y z
,
将
, ,
uuu
x y z
分别对
, ,x y z
求偏导,得
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 2
( ) ( )
u x y z x x y z x
x x y z x y z
,
2 2 2 2
2 2 2 2 2
( )
u z x y
y x y z
,
2 2 2 2
2 2 2 2 2
( )
u x y z
z x y z
,
6
因此,
222
2 2 2 2 2 2
1
(grad ) uuu
div u x y z x y z
.
(5)【答案】
(1,1, ,1)T
k
【解析】因为
( ) 1r A n
,由
( ) 1n r A
知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故
0Ax
的通解形式为
k
.下面根据已知条件“
A
的各行元素之和均为零”来分析推导
0Ax
的一个非零解,它就是
0Ax
的基础解系.
各行元素的和均为0,即
11 12 1
21 22 2
1 2
0
0
0
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
,
而齐次方程组
0Ax
为
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
n n
n n
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
.
两者比较,可知
1 2 1
n
x x x
是
0Ax
的解.所以应填
(1,1, ,1)T
k
.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(B)
【解析】
0
( )
lim ( )
x
f x
g x
为“
0
0
”型的极限未定式,又分子分母在点
0
处导数都存在,
运用洛必达法则,有
sin 22 2
0
3 4 2 3 2 3
0 0 0 0 0
sin( )
( ) sin(sin )cos sin(sin )
lim lim lim lim limcos
( ) 3 4 3 4
x
x x x x x
t dt
f x x x x x
g x x x x x x x
洛
2
2 3
0
sin(sin )
lim 3 4
x
x
x x
.
因为当
0x
,
sin 0,x
所以
2 2 2
sin(sin ) sin
x x x
,所以
2 2
2 3 2 3
0 0 0
sin(sin ) 1 1
lim lim lim
3 4 3 4 3 4 3
x x x
x x
x x x x x
,
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