1992考研数一参考答案
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1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
sin( )
sin( )
x y
x y
e y xy
e x xy
【解析】函数
( )y y x
是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.
方程两边对
x
求导,将
y
看做
x
的函数,得
(1 ) sin( )( ) 0
x y
e y xy xy y
.解出
y
,即
sin( )
sin( )
x y
x y
dy e y xy
y
dx e x xy
.
【相关知识点】1.复合函数求导法则：
如果
( )u g x
在点
x
可导,而
( )y f x
在点
( )u g x
可导,则复合函数
( )
y f g x
在点
x
可导,且其导数为
( ) ( )
dy f u g x
dx
或
dy dy du
dx du dx
.
2.两函数乘积的求导公式：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x f x g x
.
(2)【答案】
21,2, 2
9
【解析】对函数
u
求各个分量的偏导数,有
2 2 2
2u x
x x y z
；
2 2 2
2u y
y x y z
；
2 2 2
2u z
z x y z
.
由函数的梯度(向量)的定义,有
2 2 2
1
, , 2 ,2 ,2
uuu
gradu x y z
x y z x y z
,
所以
2 2 2
1 2
2,4, 4 1,2, 2
1 2 ( 2) 9
M
gradu
.
【相关知识点】复合函数求导法则：
如果
( )u g x
在点
x
可导,而
( )y f x
在点
( )u g x
可导,则复合函数
( )y f g x
在点
x
可导,且其导数为
( ) ( )
dy f u g x
dx
或
dy dy du
dx du dx
.
(3)【答案】
2
1
2
【解析】
x
是
[ , ]
区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在
x
处收敛于
2 2
1 1 1
[ ( 0) ( 0)] [ 1 1 ]
2 2 2
f f
.
【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：
函数
( )f x
在区间
[ , ]l l
上满足：(i)连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ)只有有
限个极值点.则
( )f x
在
[ , ]l l
上的傅里叶级数收敛,而且
0
1
( cos sin )
2nn
n
an n
a x b x
l l
( ), ( , ) ( )
1( 0) ( 0) , ( , ) ( )
2
1( 0) ( 0) , .
2
f x x l l f x
f x f x x l l f x
f l f l x l
若 为 的连续点,
若 为 的第一类间断点,
若
(4)【答案】
cos cos ,y x x C x C
为任意常数
【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于
tan 1
| cos |
xdx
ex
,方程两边同乘
1
cos x
,得
1 1
1
cos cos
y y x C
xx
积分
.
故通解为
cos cos ,y x x C x C
为任意常数.
(5)【答案】1
【解析】因为矩阵
A
中任何两行都成比例(第
i
行与第
j
行的比为
i
j
a
a
),所以
A
中的二阶
子式全为0,又因
0, 0
i i
a b
,知道
1 1 0a b
,
A
中有一阶子式非零.故
( ) 1r A
.
【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在
r
阶子式不为零,而所有的
1r
阶子式全为
零时,则此矩阵的秩为
r
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】对于函数在给定点
0
x
的极限是否存在需要判定左极限
0
x x
和右极限
0
x x
是否存在且相等,若相等,则函数在点
0
x
的极限是存在的.
1 1
2
1 1
1 1
1
lim lim( 1) 0
1x x
x x
xe x e
x
,
1 1
2
1 1
1 1
1
lim lim( 1)
1x x
x x
xe x e
x
,
0
,故当
1x
时函数没有极限,也不是
.故应选(D).
(2)【答案】(C)
【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小
2
1 1
1 cos ( )
2n
n n
,
2
2
( 1) (1 cos ) 1 cos ( )
2
nn
n n n
,
又因为
p
级数：
1
1
p
nn
当
1p
时收敛；当
1p
时发散.
所以有
2
2
1
1
2
nn
收敛.
1
( 1) (1 cos )
n
nn
收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).
注：对于正项级数
1n
n
a
,确定无穷小
n
a
关于
1
n
的阶(即与
p
级数作比较)是判断它的敛散性
的一个常用方法.该题用的就是这个方法.
(3)【答案】B
【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对
应的
t
值.
求曲线上的点,使该点处的切向量
与平面
2 4x y z
的法向量
1,2,1n
垂直,
即可以让切线与平面平行.
曲线在任意点处的切向量
2
( ), ( ), ( ) 1, 2 ,3
x t y t z t t t
,
0n n
,即
3
1 4 3 0t t
,解得
1
1, 3
t t
.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)
因此,只有两条这种切线,应选(B).
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