1991考研数一参考答案
2023-12-01
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1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
(1)【答案】
3
sin cos
4
t t t
t
【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即
如果
( )
( )
x t
y t
,则
( )
( )
dy t
dx t
.
所以
sin
2
dy
dy t
dt
dx
dx t
dt
,
再对
x
求导,由复合函数求导法则得
2
2
sin 1
( ) ( )
2 2
d y d dy dt d t
dx dt dx dx dt t t
2 3
2 cos 2sin 1 sin cos
4 2 4
t t t t t t
t t t
.
(2)【答案】
2dx dy
【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点
(1,0, 1)
的含义是
(1,0) 1z z
.
将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得
2 2 2
2 2 2
( )
( ) 0
2
d x y z
d xyz x y z
,
再由全微分四则运算法则得
2 2 2
( ) ( ) xdx ydy zdz
xy dz ydx xdy z x y z
,
令
1, 0, 1x y z
,得
2
dx dz
dy
,即
2dz dx dy
.
(3)【答案】
3 2 0x y z
【解析】所求平面
过直线
1
L
,因而过
1
L
上的点
(1,2,3)
；
因为
过
1
L
平行于
2
L
,于是
平行于
1
L
和
2
L
的方向向量,即
平行于向量
1(1,0, 1)
l
和向量
2(2,1,1)
l
,且两向量不共线,于是平面
的方程
1 2 3
1 0 1 0
2 1 1
x y z
,
即
3 2 0x y z
.
(4)【答案】
3
2
【解析】因为当
0x
时,
11
sin ,(1 ) 1
n
x x x x
n
,
当
0x
时
20
ax
,所以有
1
2 2 2 2
31 1 1
(1 ) 1 ,cos 1 sin ,
3 2 2
ax ax x x x
所以
12
23
0 0 2
1
(1 ) 1 2
3
lim lim 1
cos 1 3
2
x x
ax
ax a
xx
.
因为当
0x
时,
1
23
(1 ) 1ax
与
cos 1x
是等价无穷小,所以
21
3a
,故
3
2
a
.
(5)【答案】
1 2 0 0
2 5 0 0
1 2
0 0 3 3
1 1
0 0 3 3
.
【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据
本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
注意：
11
1
00
00
AA
BB
,
11
1
00
00
AB
BA
.
对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：
a b
Ac d
,则求
A
的伴随矩阵
*a b d b
Ac d c a
.
如果
0A
,这样
11 1
a b d b d b
c d c a c a
A ad bc
.
再利用分块矩阵求逆的法则：
11
1
00
00
AA
BB
,易见
1
1 2 0 0
2 5 0 0
1 2
0 0 3 3
1 1
0 0 3 3
A
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】由于函数的定义域为
0x
,所以函数的间断点为
0x
,
2 2
2 2
0 0 0
11
lim lim lim
1 1
x x
x x
x x x
e e
ye e
,所以
0x
为铅直渐近线,
2 2
2 2
11
lim lim lim 1
1 1
xx
x x
x x x
e e
ye e
,所以
1y
为水平渐近线.
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数
( )y f x
在其间断点
0
x x
处有
0
lim ( )
x x f x
,则
0
x x
是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当
lim ( ) ,(
xf x a a
为常数）
,则
y a
为函数的水平渐近线.
(2)【答案】(B)
【解析】令
2
t
u
,则
2 , 2t u dt du
,所以
2
0 0
( ) ln 2 2 ( ) ln 2
2
x x
t
f x f dt f u du
,
两边对
x
求导,得
( ) 2 ( )f x f x
,这是一个变量可分离的微分方程,即
[ ( )] 2
( )
d f x dx
f x
.解
之得
2
( ) x
f x Ce
,其中
C
是常数.
又因为
0
0
(0) 2 ( ) ln 2 ln 2f f u du
,代入
2
( ) x
f x Ce
,得
0
(0) ln 2f Ce
,得
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