1990考研数一参考答案
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1990 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题解析
一、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分。）
（1）过点 (1, 2, 1)M且与直线
2
3 4
1
x t
y t
z t
垂直的平面方程是 _______。
【答案】 3 4 0.x y z
【解析】由直线的参数方程，可得直线的方向向量 ( 1,3,1)l ，
所求平面的法向量 n平行于所给直线的方向向量 ( 1,3,1)l ，取 n l，又平面过已知点 (1, 2, 1)M.已知平面
的法向量和过已知点可唯一确定这个平面，所求平面的方程为 ( 1) 3( 2) ( 1) 0,x y z 化简即是
3 4 0.x y z
（2）设 a为非零常数，则 lim( )x
x
x a
x a
= _______。
【答案】 2a
e.
【解析】此题考查重要极限： 1
lim(1 ) .
x
xe
x
(1 )
lim( ) lim
(1 )
x
x
x x x
a
x a x
a
x a
x
(1 )
lim
(1 )
xa
a
x
xa
a
a
x
a
x
2
a
a
a
ee
e
.
或由
2
22
2
lim( ) lim 1
x a x a
a x a
x a
x x
x a a e
x a x a
.
（3）设函数 1, | | 1,
( ) 0, | | 1,
x
f x x
则[ ( )]f f x = _______。
【答案】1.
【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域，不能遗漏，求出复合后函数的所有可能的解析式.
根据 ( )f x 的定义知，当| | 1x时，有 ( ) 1.f x 代入 [ ( )]f f x ，又 (1) 1.f于是当| | 1x时，复合函数 [ ( )] 1f f x ；
当| | 1x时，有 ( ) 0.f x 代入 [ ( )]f f x ，又 (0) 1,f即当| | 1x时，也有 [ ( )] 1f f x .
因此，对任意的 ( , )x ，有 [ ( )] 1f f x .
（4）积分 2
2 2
0
y
x
dx e dy
的值等于 _______。
【答案】 4
1(1 ).
2e
【解析】这是一个二重积分的累次积分，因 2
y
e的原函数不是初等函数，先对 y积分积不出来，所以应该改换积分
次序，先表成：
原式 2.
y
D
e dxdy
由累次积分的内外层积分限确定积分区域 D：
0 2, 2,x x y 如图所示，然后交换积分次序.
原式 2 2
2 2
0 0 0
yy y
dy e dx ye dy
24
2
1 1 (1 ).
0
2 2
y
e e
（5）已知向量组 1 2 3 4
(1, 2,3, 4), (2,3, 4,5), (3, 4,5, 6), (4,5, 6, 7)
，则该向量的秩是_______。
【答案】 2.
【解析】经过初等变换后向量组的秩不变.
所以有
1
2
3
4
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
A
第一行 1
r分别乘以
2、
3、
4加到第二行、第三行、第四行上，得到
2
x
y
O
y x
2
D
1 2 3 4
0 1 2 3
A0 2 4 6
0 3 6 9
继续作初等变换第二行 2
r分别乘以
2、
3加到第三行、第四行上，再自乘
1有
1234
0 1 2 3
A0 0 0 0
0 0 0 0
因为最后得出的矩阵有二阶子式 0，而三阶子式 0，由矩阵秩的定义，有
1 2 3 4
, , , ( ) 2.r r A
所以此题应填 2.
二、选择题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分。）
（1）设 ( )f x 是连续函数，且 ' 2
( ) [ ( )]f x f x，则等于
(A) ( ) ( )
x x
e f e f x
(B) ( ) ( )
x x
e f e f x
(C) ( ) ( )
x x
e f e f x
(D) ( ) ( )
x x
e f e f x
【答案】A.
【解析】对积分上限的函数的求导公式：
若( )
( )
( ) ( )
t
t
F t f x dx
，( )t
，( )t
均一阶可导，
则
'( ) '( ) ( ) '( ) ( )F t t f t t f t
.
复合函数求导法则，
如果 ( )u g x在点 x可导，而 ( )y f x在点 ( )u g x可导，则复合函数
( )y f g x在点 x可导，且其导数为
'( ) '( )
dy f u g x
dx 或 dy dy du
dx du dx
所以两边求导数,
' '
( ) ( )( ) ( )( )
x x
F x f e e f x x
( ) ( ).
x x
e f e f x
故本题选 A.
（2）已知函数 ( )f x 具有任意阶导数，且 ' 2
( ) [ ( )]f x f x，则当 n为大于 2 的正整数时， ( )f x 的n阶导数 ( )
n
f x 是
(A) 1
![ ( )]n
n f x (B) 1
[ ( )]n
n f x (C) 2
[ ( )] n
f x (D) 2
![ ( )] n
n f x
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