1989考研数一参考答案

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1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
1
【解析】原式=
0
1 (3 ) (3) 1
lim (3) 1
2 2
h
f h f f
h
 
 
   
.
(2)【答案】
1x
【解析】由定积分的性质可知,
1
0( )f t dt
和变量没有关系,且
( )f x
是连续函数,故
1
0( )
f t dt
为一常数,为简化计算和防止混淆,令
1
0( )
f t dt a
,则有恒等式
( ) 2f x x a 
,
两边0到1积分得
1 1
0 0
( ) ( 2 )f x dx x a dx
 
 
,
即
12
2a 
,
解之得
1
2
a 
,因此
( ) 2 1f x x a x   
.
(3)【答案】
【解析】方法一：
L
的方程又可写成
2 2 1( 0)x y y
 
,被积分函数在
L
上取值,于是
原积分=
1
Lds
(半径为1的的半圆周长).
方法二：写出
L
的参数方程,
cos
sin
x t
y t
,
( 0)t
 
则
00
2 2 2 2 2 2
( ) (cos sin ) ( sin ) cos 1
Lx y ds t t t tdt dt
 
   
 
.
(4)【答案】
2
【解析】直接用散度公式
2 2
[ ( ) ( ) ( ln(1 ))]
z
P P
divu xy ye x z
x y z
  
 
  
2 2 0
(1,1,0)
22
2 20
( ) 1 0 1 1 2
1 1 0
zz
y e x e
z
  
.
(5)【答案】
1 0 0
1 1 0
2 2
0 0 1
 
 
 
 
 
 
【解析】由于
3 0 0 2 0 0 1 0 0
2 1 4 0 0 2 0 1 2 0
0 0 3 0 0 2 0 0 1
A E
   
   
 
   
   
   
,
为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.
方法一：如果对
( 2 )A E E
作初等行变换,则由
1
( 2 ) ( ( 2 ) )A E E E A E
  
可以直接
得出
1
( 2 )
A E
.
本题中,第一行乘以
 
1
加到第二行上;再第二行乘以
1
2
,有
1 0 0
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1
1 2 0 0 1 0 0 2 0 1 1 0 0 1 0 0
2 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
 
   
   
 
   
   
,
从而知
1
1 0 0
1 1
( 2 ) 0
2 2
0 0 1
A E
 
 
 
 
 
 
 
.
方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：
a b
Ac d
 
 
 
,则求
A
的伴随矩阵
*a b d b
Ac d c a
 
 
 
 
.
如果
0A
,这样
111
a b d b d b
c d c a c a
A ad bc
 
   
 
   
   
.
再利用分块矩阵求逆的法则：
11
1
00
00
AA
BB
 
 
 
 
,
本题亦可很容易求出
1
1 0 0
1 1
( 2 ) 0
2 2
0 0 1
A E
 
 
 
 
 
 
 
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(A)
【解析】函数
1
siny x x
只有间断点
0x
.
0 0
1
lim lim sin
x x
y x x
 
 
,其中
1
sin x
是有界函数,而当
0x
时,
x
为无穷小,而无穷
小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,
所以
0 0
1
lim lim sin 0
x x
y x x
 
 
 
,故函数没有铅直渐近线.
0
1
sin 1 sin
lim lim lim 1
1
x x x
t
x
ytx t
x
 
 
令
,
所以
1y
为函数的水平渐近线,所以答案为(A).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数
( )y f x
在其间断点
0
x x
处有
0
lim ( )
x x f x
 
,则
0
x x
是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当
lim ( ) ,(
xf x a a
 为常数）
,则
y a
为函数的水平渐近线.
(2)【答案】(C)
【解析】题设为求曲面
: ( , , ) 0S F x y z
(其中
2 2
( , , ) 4
F x y z z x y 
)上点
P
使
S
在该点处的法向量
n
与平面
2 2 1 0
x y z  
的法向量
 
02,2,1n
平行.
S
在
( , , )P x y z
处的法向量
 
, , 2 ,2 ,1
FFF
n x y
x y z
 

 
 
 
,
若
0
// ,n n
则
0,n n
 
为常数,即
2 2 ,2 2 ,1x y
 
 
.即
1, 1x y 
.
又点
( , , )P x y z S
,所以
2 2 2 2
( , ) (1,1)
4 4 1 1 2
x y
z x y
   
,故求得
(1,1,2)P
.
因此应选(C).
(3)【答案】(D)

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