1988考研数一参考答案
2023-12-01
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1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷一）
一．(本题满分15 分，每小题5分)
(1) 求幂级数
1
(3)
3
n
n
n
x
n
的收敛域.
解：因
1
1
(3)
1
( 1) 3
lim lim 3 3 ,
( 3) 3( 1) 3
3
n
n
n
nn
n
x
n
nxx
xn
n
故
131 0 6
3xx 即
时，
幂级数收敛. „„ 3分
当
0x
时，原级数成为交错级数
1
1
(1)n
nn
，是收敛的. „„ 4分
当
6x
时，原级数成为调和级数
1
1
nn
，是发散的. „„ 5分
所以，所求的收敛域为
0,6
.
(2) 已知f(x)= e
2
x
,f
()x
=1-x,且
(x)
0.求
(x)并写出它的定义域.
解：由
2
[( )] 1
x
ex
，得
() ln(1 )xx
.„„ 3分
由
ln(1 ) 0x
，得
11x
即
0x
. „„ 5分
所以
() ln(1 )xx
，其定义域为
(,0).
(3)设S为曲面
1
222 zyx
的外侧，计算曲面积分
s
dxdyzdxdxydydzxI 333
.
解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有
22 2
3 ( )I x y z dv
（其中
是由
S
所围成的区域） „„ 2分
21
22
00 0
3 d sind r r dr
„„ 4分
12
5
.„„ 5分
二、填空题：(本题满分12 分，每小题3分)
(1) 若f(t)=
x
lim
t
tx
x
2
)
1
1(
，则
()ft
2
(2 1) t
te
(2) 设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间
1,1
上的定f(x)=
2, 1 0
,0 1
3
x
x x
,则f(x)的付立叶级
数在x=1 处收敛于
2
3
.
(3) 设f(x)是连续函数，且
1
0
3( ) ,
xxdtf t
则f(7)=
1
12
.
(4) 设4*4 矩阵A=
( , )
2, 3, 4
，B=
( , )
2, 3, 4
，其中，
2 3, 4
, , ,
均为4维列向量，
且已知行列式
4, 1, A B
则行列式
A B
=.
40
.
三、选择题 ( 本题满分15 分，每小题3分)
(1) 若函数y=f(x)有
2
1
( )
0
f x
，则当
0 x
时，该函x=
0
x
处的微分dy 是 (B)
(A) 与
x
等价的无穷小 (B) 与
x
同阶的无穷小
(C) 比
x
低阶的无穷小 (D) 比
x
高阶的无穷小
(2) 设
()yf x
是方程
2 4 0
y y y
的一个解，若
() 0fx
，且
( ) 0
0
f x
，则函数
()fx
在点
0
x
(A)
(A) 取得极大值 (B) 取得极小值
(C) 某个邻域内单调增加 (D) 某个邻域内单调减少
(3) 设有空间区域
2 2 2 2
1:x y z R
,
;0z
及
2 2 2 2
2:x y z R
,
0, 0, 0, x y z
则 (C)
(A)
1 2
4xdvxdv
(B)
1 2
4ydvydv
(C)
1 2
4zdvzdv
(D)
1 2
4xyzdvxyzdv
(4) 若
n
nn
a x( 1)
1
在x=-1 处收敛，则此级数在x=2 处 (B)
(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛
(C) 发散 (D) 收敛性不能确定
(5) n维向量组
12
,, , (3 )
ssn
线性无关的充分必要条件是 (D)
(A) 有一组不全为0的数
12
,, , ,
s
k k k
使
11 2 2 0
ss
k k k
.
(B)
12
,, , s
中任意两个向量都线性无关.
(C)
12
,, , s
中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.
(D)
12
,, , s
中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.
四．(本题满分6分)
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