1987考研数一参考答案
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1987 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答
数 学（试卷Ⅰ）
一、填空题（每小题 3分，满分 15 分. 只写答案不写解题过程）
(1)与两直线
1
1
2
x
yt
zt
及
12 1
1 2 1
x y z
都平行，且过原点的平面方程是
50xy
(2)当
x
1/ln2
；时，函数
2x
yx
取得极小值.
(3)由
lnyx
与两直线
(1)y e x
及
0y
围成图形的面积= 3 / 2
(4) 设L为取正向的圆周
9
2
2 yx
，则曲线积分
dyx
xdxyxy
L)4()22( 2
的值是
18
.
(5)已知三维线性空间的一组基底
)
1,1,0(,)1,0,1(,)0,
1,1( 321
，则向量
＝( 2 , 0 , 0 ) 在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )
二、（本题满分 8分）
求正的常数
a
与
b
，使式
1
sin
1
lim 02
2
0
dt
ta
t
xbx
x
x
成立.
解：假若
1b
，则根据洛必达法则有
22
22
0
00
11
lim lim( ) 0 1
sin cos
x
xx
tx
dt
bx x b x
a t a x
，与题设矛盾，于是
1b
.
此时
2 2 2
2
1
2 2 2
0
0 0 0 2
1 1 1 2
lim lim( ) lim( )
sin 1 cos
x
x x x
t x x
dt
bx x x x a
a t a x a x
，
即
2
1a
，因此
4a
.
三、（本题满分 7分）
(1) 设函数
,fg
连续可微，
(, ), ( )u f x xy v g x xy
，求
,.
uv
xx
解：
12 1 2
()u x xy
f f f y f
x x x
；
()
(1 )
v x xy
g y g
x
x
.
(2) 设矩阵
A
和
B
满足
2AB A B
，其中
A
30 1
1 1 0
0 1 4
，求矩阵
B
.
解：因
2AB A B
，故
2AB B A
，即
(2 )A E B A
，
故
1
(2 )B A E A
52 2
4 3 2
2 2 3
.
四、（本题满分 8分）
求微分方程
2
6(9 ) 1y y a y
的通解.其中常数
0a
.
解：由特征方程
32 2
2 (9 ) 0r r a r
，知其特征根根为
12,3
0, 3r r ai
.
故对应齐次方程的通解为
33
12 3
cos sin
xx
y C C e x C e x
，其中
12 3
,,C C C
为任意常数.
设原方程的特解为
*()yx Ax
，代入原方程可得
A
2
1
9a
.
因此，原方程的通解为
* 3 3
12 3
( ) cos sin
xx
y x y y C C e x C e x
2
1
9a
x
.
五、选择题（每小题 3分，满分 12 分）
(1) 设常数
0k
，则级数
2
1
)
( 1 n
k n
n
n
（C）
(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛与发散与
k
的值有关.
(2) 设
)
(f x
为已知连续函数，
t
sdxtxf
I t 0( )
，
0, 0st
，则
I
的值
（D）
(A) 依赖于
s
和
t
(B) 依赖于
s
、
t
、
x
(C) 依赖于
t
和
x
, 不依赖于
s
(D) 依赖于
s
, 不依赖于
t
(3) 设
1
)
(
( ) ( )
lim 2
x a
f x f a
x a
，则在点
xa
处 (B)
(A)
()fx
导数存在,
( ) 0
f a
(B)
()fx
取得极大值
(C)
()fx
取得极小值 (D)
()fx
的导数不存在.
(4) 设A为n阶方阵, 且
0
A a
, 而
*
A
是A的伴随矩阵，则
*
A
= (C)
(A)
a
(B)
a/
1
(C)
1n
a
(D)
n
a
六、（本题满分 10 分）
求幂级数
1
12
1
n
nnx
n
的收敛域，并求其和函数.
解：记
1
1
2
n
nn
ux
n
，有
1
1
1
2
lim lim ( 1)2 2
nn
n
nn
nn
n
x
uxn
u n x
，
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