2013年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答题纸
．．．指定位置上.
（1）当
0x
时，用
( )o x
表示比
x
高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）
（A）
2 3
( ) ( )x o x o x
（B）
2 3
( ) ( ) ( )o x o x o x
（C）
2 2 2
( ) ( ) ( )
o x o x o x
（D）
2 2
( ) ( ) ( )o x o x o x
【答案】D
【解析】
2
( ) ( ) ( )
o x o x o x
，故D错误。
（2）函数
| | 1
( ) ( 1)ln | |
x
x
f x x x x
的可去间断点的个数为（ ）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
【答案】C
【解析】由题意可知
( )f x
的间断点为
0, 1
。又
ln
x 0 x 0 x 0 x 0
1 1 ln
lim ( ) lim lim lim 1
( 1)ln ( 1)ln ( 1)ln
x x x
x e x x
f x x x x x x x x x x
ln( )
x 0 x 0 x 0 x 0
( ) 1 1 ln( )
lim ( ) lim lim lim 1
( 1)ln( ) ( 1)ln( ) ( 1)ln( )
xx x
xex x
f x x x x x x x x x x
ln
x 1 x 1 x 1 x 1
11ln 1
lim ( ) lim lim lim
( 1)ln ( 1)ln ( 1)ln 2
x x x
x e x x
f x x x x x x x x x x
ln( )
x 1 x 1 x 1 x 1
( ) 1 1 ln( )
lim ( ) lim lim lim
( 1)ln( ) ( 1)ln( ) ( 1)ln( )
x x x
xe x x
f x x x x x x x x x x
故
( )f x
的可去间断点有2个。
2
（3）设
k
D
是圆域
2 2
{( , ) | 1}
D x y x y
位于第
k
象限的部分，记
( )
k
k
D
I y x dxdy
1,2,3,4k
，
则（ ）
（A）
10I
（B）
20I
（C）
30I
（D）
40
I
【答案】B
【解析】令
cos , sinx r y r
，则有
1
0
1
( ) ( sin cos ) (cos sin )
3
k
k
D
I y x dxdy rdr r r d
故当
2k
时，
,
2
，此时有
2
20.
3
I
故正确答案选B。
（4）设
{ }
n
a
为正项数列，下列选项正确的是（ ）
（A）若
1
11
, ( 1)n
n n n
n
a a a
则
收敛
（B）
1
1
( 1)n
n
n
a
若
收敛，则
1n n
a a
（C）
1n
n
a
若
收敛，则存在常数
1P
,使
lim P
n
nn a
存在
（D）若存在常数
1P
，使
lim P
n
nn a
存在，则
1n
n
a
收敛
【答案】D
【解析】根据正项级数的比较判别法，当
1P
时，
1
1
p
nn
收敛
，且
lim P
n
nn a
存在，则
1n
n
a
与
1
1
p
nn
同
敛散，故
1n
n
a
收敛.
（5）设矩阵A,B,C 均为n阶矩阵，若
AB C
，且
C
可逆，则（ ）
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
3
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】（B）
【解析】由
ABC
可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有
1
CBA
，从而
A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。
（6）矩阵
1 1
1 1
a
a b a
a
与
200
0 b 0
0 0 0
相似的充分必要条件为
（A）
0, 2a b
（B）
为任意常数ba ,0
（C）
0,2 ba
（D）
为任意常数ba ,2
【答案】(B)
【解析】由于
1 1
1 1
a
a b a
a
为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而
1 1
1 1
a
a b a
a
与
200
0 b 0
0 0 0
相似的
充分必要条件为
1 1
1 1
a
a b a
a
的特征值为
0,,2 b
。
又
2
1 1
[( )( 2) 2 ]
1 1
a
E A a b a b a
a
，从而
为任意常数ba ,0
。
（7）设
1 2 3
X X X
， ，
是随机变量，且
2 2
1 2 3
~N(0,1) ~N( ~ (5,3 )
XN，X 0,2），X
,
{ 2 2}( 1,2,3),
j j
P P X j
则（ ）
（A）
1 2 3
P P P
（B）
213
P P P
（C）
3 1 2
P P P
（D）
1 3 2
P P P
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