2012年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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1
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答题纸
．．．指定位置上.
（1）曲线
2
21
x x
yx
渐近线的条数为（）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
【答案】：
C
【解析】：
2
2
1
lim 1
x
x x
x
，所以
1x
为垂直的
2
2
lim 1
1
x
x x
x
，所以
1y
为水平的，没有斜渐近线故两条选
C
（2）设函数
2
( ) ( 1)( 2) ( )
x x nx
f x e e e n
，其中
n
为正整数，则
'(0)f
（A）
1
( 1) ( 1)!
nn
（B）
( 1) ( 1)!
nn
（C）
1
( 1) !
nn
（D）
( 1) !
nn
【答案】：
C
【解析】：
' 2 2 2
( ) ( 2) ( ) ( 1)(2 2) ( ) ( 1)( 2) ( )
x x nx x x nx x x nx
f x e e e n e e e n e e ne n
所以
'(0)f
1
( 1) !
nn
（3）设函数
( )f t
连续，则二次积分
d f r rdr
2
2 cos
2
2
0( )
=（ ）
（A）
dx x y f x y dy
x
x x ( )
2 2
4
2
2 2
2
0
2
2
（B）
dx f x y dy
x
x x ( )
2 2
4
2
2
0
2
2
（C）
x y f x y dydx x
x x ( )
2 2
4
1 2
2 2
2
0
2
2
2
（D）
f x y dydx x
x x ( )
2 2
4
1 2
2
0
2
2
【答案】：（B）
【解析】：由
2 2
x x y
解得
y
的下界为
2
2x x
，由
2
2 2
x y
解得
y
的上界为
2
4x
.故排
除答案（C）（D）.将极坐标系下的二重积分化为
X
型区域的二重积分得到被积函数为
( )
2 2
f x y
，
故选（B）.
（4）已知级数
1
1
( 1) sin
i
n
n
n
绝对收敛，
12
( 1)
i
n
n
条件收敛，则
范围为（ ）
（A）
2
1
0
（B）
1
2
1
（C）
2
3
1
（D）
2
2
3
【答案】：（D）
【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的
p
级数的收敛性结论.
1
1
( 1) sin
i
n
n
n
绝对收敛可知
2
3
；
12
( 1)
i
n
n
条件收敛可知
2
，故答案为（D）
（5）设
1 2 3 4
12 3 4
0 0 1 1
0 , 1 , 1 , 1
c c c c
其中
1 2 3 4
, , ,
c c c c
为任意常数，则下列向量组线性相关
的是（ ）
（A）
1 2 3
, ,
（B）
1 2 4
, ,
（C）
1 3 4
, ,
（D）
234
, ,
【答案】：（C）
【解析】：由于
1 3 4 1
1 3 4
0 1 1 1 1
, , 0 1 1 0
1 1
c
c c c
，可知
1 3 4
, ,
线性相关。故选（C）
（6）设
A
为3阶矩阵，
P
为3阶可逆矩阵，且
1
1
1
2
P AP
，
1 2 3
, ,
P
，
3
1 2 2 3
, ,Q
则
1
Q AQ
（ ）
（A）
1
2
1
（B）
1
1
2
（C）
2
1
2
（D）
2
2
1
【答案】：（B）
【解析】：
1 0 0
1 1 0
0 0 1
Q P
，则
1 1
1 0 0
1 1 0
0 0 1
Q P
，
故
1 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2
Q AQ P AP
故选（B）。
（7）设随机变量
X
与
Y
相互独立，且都服从区间
0,1
上的均匀分布，则
2 2 1P X Y
（ ）
（A）
1
4
（B）
1
2
（C）
8
（D）
4
【答案】：（D）
【解析】：由题意得，
1, 0 1,0 1,
,0, .
X Y
x y
f x y f x f y
其它
2 2 1 = ,
D
P X Y f x y dxdy
，其中
D
表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是
1
，故根据二重积
分的几何意义，知
2 2 1 = 4
P X Y
，故选（D）.
（8）设
1 2 3 4
, , ,X X X X
为来自总体
2
1, 0N
的简单随机样本，则统计量
1 2
3 4 2
X X
X X
的分布
（ ）
（A）
0,1N
（B）
1t
（C）
21
（D）
1,1F
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