2011年数学三考研真题答案解析
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1
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案
一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸
．．．指定位置上．)
(1)【答案】(C)．
【解析】因为
0
3sin sin3
lim k
x
x x
cx
0
3sin sin cos2 cos sin 2
lim k
x
x x x x x
cx
2
0
sin 3 cos2 2cos
lim k
x
x x x
cx
2
1
0
3 cos2 2cos
lim k
x
x x
cx
2 2
1
0
3 2cos 1 2cos
lim k
x
x x
cx
2 2
1 1
0 0
4 4cos 4sin
lim lim
k k
x x
xx
cx cx
3
0
4
lim 1
k
xcx
．
所以
4, 3c k
，故答案选(C).
(2)【答案】(B)．
【解析】
2 3
3
0
2
lim
x
x f x f x
x
2 2 3
3
0
0 2 2 0
lim
x
x f x x f f x f
x
3
3
0
0
0
lim 2
x
f x f
f x f
x x
0 2 0 0f f f
．
故答案选(B).
(3)【答案】(A).
【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确.
方法2：排除法，举反例．
选项(B)取
( 1)n
n
u
，这时
2 1 2
11
( ) 0
n n
nn
u u
收敛，但
1 1
( 1)n
n
n n
u
发散，故选项
(B)错误；
选项(C)取
1
( 1)n
n
un
，这时
1
1 1
( 1)n
n
n n
un
收敛，但
2 1 2
1 1
1
( )
n n
n n
u u n
发散，故
选项(C)错误；
2
选项(D)取
1
n
u
，这时
2 1 2
1 1
( ) 0
n n
nn
u u
收敛，但
1 1
1
n
n n
u
发散，故选项(D)错误．故
正确答案为(A).
(4)【答案】(B)．
【解析】因为
04
x
时，
0 sin cos 1 cotx x x
，
又因
ln x
是单调递增的函数，所以
lnsin lncos lncotx x x
．
故正确答案为(B)．
(5)【答案】(D)．
【解析】由于将
A
的第2列加到第1列得矩阵
B
，故
1 0 0
1 1 0
0 0 1
A B
，
即
1
AP B
，
1
1
A BP
．
由于交换
B
的第2行和第3行得单位矩阵，故
1 0 0
0 0 1
0 1 0
B E
，
即
2,P B E
故
1
2 2
B P P
．因此，
1
2 1
A P P
，故选(D)．
(6)【答案】(C)．
【解析】由于
1 2 3
, ,
是
Ax
的3个线性无关的解，所以
3 1 2 1
,
是
0Ax
的两
个线性无关的解，即
0Ax
的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项．
又因为
2 3 0
2
A
，所以
2 3
2
是
0Ax
的解，不是
Ax
的解，故排除(D)选项，
因此选(C)．
事实上，由于
1 2 3
, ,
是
Ax
的三个线性无关的解，所以
2 1 3 1
,
是
0Ax
的两
个线性无关的解，即
0Ax
的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即
3 ( ) 2r A
，故
( ) 1r A
．由于
A O
，所以
( ) 1r A
，故
( ) 1r A
．这样，
0Ax
的基础解系中正好有2个
线性无关的解，由此知
2 1 3 1
,
是
0Ax
的一个基础解系．
因为
1 2 3
, ,
是
Ax
的解，所以
2 3
,A A
，因此
2 3
2
A
，所以
2 3
2
3
是
Ax
的一个特解．
由非齐次线性方程组解的结构，可知
Ax
的通解为
2 3 1 2 1 2 3 1
( ) ( )
2k k
．
(7)【答案】(D)．
【解析】选项(D)
1
1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )f x F x f x F x dx
2
2 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
F x dF x F x dF x
2
1( ) ( )
d F x F x
1 2
( ) ( ) |F x F x
1
．
所以
1 2 2 1
( ) ( )f F x f F x
为概率密度.
(8)【答案】(D)．
【解析】因为
1 2
, , , ( )
n
X X X P
，
所以
( )
i
E X
，
( )
i
D X
，从而有
1 1
1
1
( ) 1 1
( )
n n
i i
ii
X E XE T n
n n n
EE X E X
1 1
21 1
1 1 1 1
( ) ( )
11
nn
i n i n
i i
E T E X X E X E X
n n n n
1 1
1
E X E X
n n
．
因为
1
1 1 n
，所以
1 2
E T E T
．
又因为
1
12
1
( (
1 1
))
n
i
i
D T D n D X D X
n n
X
n n
．
1 1
22
1 1
2
1 1 1 1
( ) ( )
1 ( 1)
( )
nn
i n i n
ii
X X D X D
nn
Dn
D X
n
T
2 2
1 1
(1 1
1
) ( )
1D X D X
nnn n
．
由于当
2n
时，
2
1 1 1
1
n n n
，所以
1 2
D T D T
．
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