2010年数学三考研真题答案解析
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2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题参考答案
一、选择题
(1)【答案】(C).
【解析】
0 0 0 0
1 1 1 1 1
lim lim 1 1 lim 1 lim x x
x x x x
x x x x
e axe
a e e ax e axe
x x x x x x
0 0
1
lim lim 1 1
x x
xx
e axe a
x x
所以
2a
.
(2)【答案】(A)．
【解析】因
1 2
y y
是
0y P x y
的解,故
1 2 1 2 0y y P x y y
,所以
1 1 2 2
( ) 0y P x y y p x y
,
而由已知
1 1 2 2
,
y P x y q x y P x y q x
,所以
0q x
, ①
又由于一阶次微分方程
y p x y q x
是非齐的,由此可知
0q x
,所以
0
．
由于
1 2
y y
是非齐次微分方程
y P x y q x
的解,所以
1 2 1 2
y y P x y y q x
,
整理得
1122
y P x y y P x y q x
,
即
q x q x
,由
0q x
可知
1
, ②
由①②求解得
1
2
,故应选(A)．
(3)【答案】(B).
【解析】
( ) ( ) ( )f g x f g x g x
,
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f g x g x f g x g x f g x g x
由于
0
( )g x a
是
( )g x
的极值,所以
0
( ) 0g x
.所以
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
f g x f g x g x f a g x
由于
0
( ) 0
g x
,要使
( ) 0f g x
,必须有
( ) 0f a
,故答案为B.
(4)【答案】(C).
【解析】因为
10 10
( ) 1
lim lim lim
( ) 10
xx
x x x
h x e e
g x x
,所以,当
x
充分大时,
( ) ( )h x g x
.
又因为
9
10 9
1
ln
( ) ln ln
lim lim lim 10 10 lim
( ) 1
x x x x
x
f x x x
x
g x x x
81
ln ln 1
10 9 lim 10 9 2 lim 10! lim 0
1
xx x
xx
xx x
.
所以当
x
充分大时,
( ) ( )f x g x
,故当
x
充分大,
( ) ( ) ( )f x g x h x
.
(5)【答案】(A)．
【解析】由于向量组
I
能由向量组
II
线性表示,所以
(I) (II)r r
,即
1 1
( , , ) ( , , )
rs
r r s
若向量组
I
线性无关,则
1
( , , )
r
rr
,所以
1 1
( , , ) ( , , )
r s
r r r s
,即
r s
,选(A).
(6)【答案】(D).
【解析】设
为
A
的特征值,由于
2
A A O
,所以
20
,即
( 1) 0
,这样
A
的
特征值只能为-1或0.由于
A
为实对称矩阵,故
A
可相似对角化,即
A
,
( ) ( ) 3r A r
,因此,
1
1
1
0
,即
1
1
1
0
A
.
(7)【答案】(C).
【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数
是连续函数.观察本题中
( )F x
的形式,得到随机变量
X
既不是离散型随机变量,也不是连续
型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定
义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即
1 1
1 1
1 1 1 1 1 0 1 2 2
P X P X P X F F e e
,故本题选
(C).
(8)【答案】(A).
【解析】根据题意知,
2
2
1
1
2
x
f x e
(
x
),
2
1, 1 3
4
0,
x
f x
其它
利用概率密度的性质:
1f x dx
,故
0 3
1 2 1
00
1 3 1
2 4 2 4
aa
f x dx af x dx bf x dx f x dx b dx b
所以整理得到
2 3 4a b
,故本题应选(A).
二、填空题
(9)【答案】
1
.
【解析】
22
0 0 sin
x y x
t
e dt x t dt
,令
0x
,得
0y
,等式两端对
x
求导：
2
( ) 2 2
0
(1 ) sin sin
x
x y dy
et dt x x
dx
．
将
0x
,
0y
代入上式,得
0
1 0
x
dy
dx
.所以
0
1
x
dy
dx
.
(10)【答案】
2
4
.
【解析】根据绕
x
轴旋转公式,有
2
2
1 ln
e e
dx
V y dx x x
2
2
ln arctan ln
1 ln 2 4 4
e
e
d x x
x
.
(11)【答案】
3
11
3P
p e
.
【解析】由弹性的定义,得
3
1
dR p p
dp R
,所以
2
1
dR p dp
R p
,即
2
1
ln ln 3
R p p C
,
又
1 1R
,所以
1
3
C
.故
1 1
ln ln 3 3
R p p
,因此
3
11
3p
R p e
.
(12)【答案】
3b
.
【解析】函数为
3 2 1
y x ax bx
,它的一阶导数为
2
3 2 ;
y x ax b
二阶导数为
6 2y x a
,又因为
1,0
是拐点,所以
10
x
y
,得
1
3
a
,所以
3a
,又因为曲线
过点
1,0
,所以将
1, 0x y
代入曲线方程,得
3b
.
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