2009年数学三考研真题答案解析
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2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数
3
( ) sin
x x
f x x
的可去间断点的个数为
(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.
【答案】C.
【解析】
3
sin
x x
f x x
则当
x
取任何整数时，
f x
均无意义
故
f x
的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是
30x x
的解
1,2,3 0, 1x
3 2
0 0
32
1 1
3 2
11
1 3 1
lim lim
sin cos
1 3 2
lim lim
sin cos
1 3 2
lim lim
sin cos
xx
x x
x x
x x x
xx
x x x
x x
x x x
x x
故可去间断点为3个，即
0, 1
（2）当
0x
时，
( ) sinf x x ax
与
2
( ) ln(1 )
g x x bx
是等价无穷小，则
(A)
1a
，
1
6
b
.（B）
1a
，
1
6
b
.
(C)
1a
，
1
6
b
.（D）
1a
，
1
6
b
.
【答案】A.
【解析】
2
( ) sin , ( ) (1 )f x x ax g x x ln bx
为等价无穷小，则
2
2 2 2
00 0 00
( ) sin sin 1 cos sin
lim lim lim lim lim
( ) ln(1 ) ( ) 3 6
x x xx x
f x x ax x ax a ax a ax
g x x bx x bx bx bx
洛洛
- 2 -
2 3
0
sin
lim 1
66
x
a ax a
bb
ax
a
36
a b
故排除(B)、(C).
另外
2
0
1 cos
lim 3
x
a ax
bx
存在，蕴含了
1 cos 0a ax
0x
故
1.a
排除(D).
所以本题选(A).
（3）使不等式
1
sin ln
xtdt x
t
成立的
x
的范围是
(A)
(0,1)
. (B)
(1, )
2
. (C)
( , )
2
. (D)
( , )
.
【答案】A.
【解析】原问题可转化为求
1 1 1
sin sin 1
( ) ln
x x x
t t
f x dt x dt dt
t t t
1
1
sin 1 1 sin 0
x
x
t t
dt dt
t t
成立时
x
的
取值范围，由
1 sin 0
t
t
，
0,1t
时，知当
0,1x
时，
( ) 0f x
.故应选(A).
（4）设函数
y f x
在区间
1,3
上的图形为
1
( )
f x
-2
O
2
3
x
-1
1
则函数
0
x
F x f t dt
的图形为
(A)
( )f x
O
2
3
x
1
-2
-1
1
(B)
( )f x
O
2
3
x
1
-2
-1
1
- 3 -
(C)
( )f x
O
2
3
x
1
-1
1
(D)
( )f x
O
2
3
x
1
-2
-1
1
【答案】D.
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由
( )y f x
的图形可见，其图像与
x
轴及
y
轴、
0
x x
所围的图形的代数面积为所求函数
( )F x
，从而可得出几个方面的特征：
①
0,1x
时，
( ) 0F x
，且单调递减.
②
1,2x
时，
( )F x
单调递增.
③
2,3x
时，
( )F x
为常函数.
④
1,0x
时，
( ) 0F x
为线性函数，单调递增.
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为(D).
（5）设
,A B
均为2阶矩阵，
*
,A B
分别为
,A B
的伴随矩阵，若
| | 2,| | 3A B
，则分块矩
阵
O A
B O
的伴随矩阵为
(A)
*
*
3
2
O B
A O
. (B)
*
*
2
3
O B
A O
.
(C)
*
*
3
2
O A
B O
. (D)
*
*
2
3
O A
B O
.
【答案】B.
【解析】根据
CC C E
，若
1 1 1
,C C C C C
C
分块矩阵
O A
B O
的行列式
2 2
1 2 3 6
O A A B
B O
（）
，即分块矩阵可逆
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