2008年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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2008 年考研数学（三）真题解析
一、选择题
(1)【答案】
B
【详解】
0
0 0 0
( )
lim ( ) lim lim 0
x
x x x
f t dt
g x f x f
x
，
所以
0x
是函数
( )g x
的可去间断点．
(2)【答案】
C
【详解】
0
00 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a a
a
xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx
其中
( )af a
是矩形ABOC 面积，
0( )
af x dx
为曲边梯形ABOD 的面积，所以
0( )
axf x dx
为曲边三角形的面
积．
(3)【答案】
B
【详解】
2 4
0
00 0
( ,0) (0,0) 1 1
(0,0) lim lim lim
0
x
x
xxxx
f x f e e
fx x x
0 0
1 1
lim lim 1
xx
x x
e e
x x
，
0 0
1 1
lim lim 1
xx
x x
e e
x x
故
(0,0)
x
f
不存在．
2 4 2
02
0 0 0 0
(0, ) (0,0) 1 1
(0,0) lim lim lim lim 0
0
yy
yyy y y
f y f e e y
fyy y y
所以
(0,0)
y
f
存在．故选
B
.
(4)【答案】
A
【详解】用极坐标得
2
2 2
( ) 2
2 2 0 1 1
, ( )
v u u
f r
r
D
f u v
F u v dudv dv rdr v f r dr
u v
所以
2
Fvf u
u
.
(5)【答案】
C
【详解】
2 3
( )( )
E A E A A E A E
，
2 3
( )( )
E A E A A E A E
.
故
,E A E A
均可逆．
(6)【答案】
D
【详解】记
1 2
2 1
D
，则
2
1 2 1 4
2 1
E D
，
- 2 -
又
2
1 2 1 4
2 1
E A
，
所以
A
和
D
有相同的特征多项式，所以
A
和
D
有相同的特征值.
又
A
和
D
为同阶实对称矩阵，所以
A
和
D
相似．由于实对称矩阵相似必合同，故
D
正确.
(7)【答案】
A
【详解】
2
max ,
ZZ Z Z
F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z
.
(8)【答案】
D
【详解】用排除法.设
Y aX b
，由
1
XY
，知道
,X Y
正相关，得
0a
，排除
A
、
C
由
~ (0,1), ~ (1,4)X N Y N
，得
0, 1,EX EY
所以
( ) ( )E Y E aX b aEX b
0 1,a b
所以
1b
.排除
B
.故选择
D
.
二、填空题
(9)【答案】1
【详解】由题设知
| | 0c x
，所以
2
2 ,
( ) 1,
2 ,
x x c
f x x c x c
x x c
因为
2 2
lim lim( 1) 1
x c x c
f x x c
，
2 2
lim lim
x c x c
f x x c
又因为
( )f x
在
( , )
内连续，
( )f x
必在
x c
处连续
所以
lim lim ( )
x c x c
f x f x f c
，即
22
1 1c c
c
.
(10)【答案】
1ln3
2
【详解】
2
2
2
1 1
1
112
x x
x x
f x xxx
xx
，令
1
t x
x
，得
22
t
f t t
所以
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
1 1 1
ln 2 ln 6 ln 2 ln3
2 2 2 2
x
f x dx dx x
x
.
(11)【答案】
4
【详解】
2 2 2 2
1
( ) 2
D D D
x y dxdy x dxdy x y dxdy
利用函数奇偶性
2 1 2
0 0
1
2 4
d r rdr
.
- 3 -
(12)【答案】
1
yx
【详解】由
dy y
dx x
，两端积分得
1
ln ln
y x C
，所以
1x C
y
，又
(1) 1y
，所以
1
yx
.
(13)【答案】3
【详解】
A
的特征值为
1,2,2
，所以
1
A
的特征值为
1,1 2,1 2
，
所以
1
4A E
的特征值为
4 1 1 3
，
4 1 2 1 1
，
4 1 2 1 1
所以
1
4 3 1 1 3B E
.
(14)【答案】
1
1
2e
【详解】由
2 2
( )DX EX EX
，得
2 2
( )EX DX EX
，又因为
X
服从参数为1的泊松分布，所以
1DX EX
，所以
21 1 2EX
，所以
21 1
1 1
22 2
P X e e
！
.
三、解答题
(15) 【详解】
方法一：
2 2
0 0
1 sin 1 sin
lim ln lim ln 1 1
x x
x x
x x x x
3 2
0 0 0
sin cos 1 sin 1
lim lim lim
3 6 6
x x x
x x x x
x x x
方法二：
2 2 3
0 0 0
1 sin cos sin cos sin
lim ln lim lim
2 sin 2
xxx
x x x x x x x
x x x x x
洛必达法则
2
0
sin 1
lim 6 6
x
x x
x
洛必达法则
(16) 【详解】(I)
2 2xdx ydy dz x y z dx dy dz
1 2 2dz x dx y dy
2 2
1
x dx y dy
dz
1
(II) 由上一问可知
2 2
,
1 1
z x z y
xy
，
所以
1 1 2 2 1 2 2 2
, ( ) ( )
1 1 1 1
z z x y y x
u x y x y x y x y x y
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