2007年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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一、选择题
(1)【答案】B
【详解】
方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当
0x
时，
1
1 ; 1 1 ;
2
x
e x x x
2
2 2
1 cos 2sin 2( ) ,
2 2 2
x x x
x
当
0x
时，此时
0x
，所以
1
1 ( ); 1 1 ;
2
x
e x x x
2
1
1 cos ( ) ,
2
x x
可以
排除
A
、
C
、
D
，所以选(B).
方法2：
1
ln1
x
x
1
ln 1
x x x
x
ln[1 ]
1
x x
x
当
0x
时，
1 1x
，
0
1
x x
x
，又因为
0
x
时，
ln 1 x x
，
所以
ln[1 ] ~ ~ 1 ~
1 1
x x x x x x x x x
x x
，选（B）.
方法3：
0 0 0
1
11 1
ln( )
ln( ) ( )
11
1 1
lim lim lim 1
2
x x x
x
xx x
xx
x x
xxx
洛
2
0 0
1
1 1
12
11 2 2 1
lim lim
11 1
2
x x
x x
xx
xx x x x
x x
x
设
2 2 1
11
1 1
x x x A B
xx
x x
，则
1 1 4 2 2A x B x x x x x
对应系数相等得：
2 , 1A x B
，所以
原式
0 0
2 2 1 2 1
lim lim 11
1 1
x x
x x x x
xx
x x
0 0
2 1
lim lim 0 1
11
x x
x
xx
1
，选(B).
2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
(2)【答案】D
【详解】
方法1：论证法，证明
, ,A B C
都正确，从而只有
D
不正确。
由
0
( )
lim
x
f x
x
存在及
( )f x
在
0x
处连续，所以
0
(0) lim ( )
x
f f x
0 0 0 0
( ) ( ) ( )
lim lim lim 0 lim
x x x x
f x f x f x
x x
x x x
0
，所以(A)正确；
由选项(A)知，
(0) 0f
，所以
0 0
( ) (0) ( )
lim lim
0
xx
f x f f x
xx
存在，根据导数定义，
0
( ) (0)
'(0) lim 0
x
f x f
fx
存在，所以(C)也正确；
由
( )
f x
在
0x
处连续，所以
( )
f x
在
0x
处连续，从而
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) (0) (0) 2 (0)
xx x
f x f x f x f x f f f
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 (0) lim lim lim 0 lim 0
x x x x
f x f x f x f x f x f x
f x x
xx x
，
即有
(0) 0f
，所以(B)正确，故此题选择(D).
方法2：举例法，举例说明(D)不正确。例如取
( )f x x
，有
0 0
( ) ( )
lim lim 0
0
xx
x x
f x f x
xx
存在
而
0 0
00
lim lim 1
0 0
xx
f x f x
xx
，
0 0
00
lim lim 1
0 0
xx
f x f x
xx
，左
右极限存在但不相等，所以
( )f x x
在
0x
的导数
'(0)f
不存在。(D)不正确，
选(D).
(3)【答案】C
【详解】由题给条件知，
( )f x
为
x
的奇函数，则
( ) ( )f x f x
，由
0
( ) ( ) ,
x
F x f t dt
知
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x
F x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x
令 因为
，
故
( )F x
为
x
的偶函数，所以
( 3) (3)F F
.
而
2
0
(2) ( )
F f t dt
表示半径
1R
的半圆的面积，所以
2
2
0
(2) ( ) 2 2
R
F f t dt
，
3 2 3
00 2
(3) ( ) ( ) ( )F f t dt f t dt f t dt
，其中
3
2( )f t dt
表示半径
1
2
r
的半圆的面积
的负值，所以
2
2
3
2
1
( ) 2 2 2 8
r
f t dt
所以
2 3
0 2
3 3 3
(3) ( ) ( ) (2)
2 8 8 4 2 4
F f t dt f t dt F
所以
3
( 3) (3) (2)
4
F F F
，选择C
(4)【答案】B
【详解】画出该二次积分所对应的积分区域
: 2 sin 1D x x y
，
交换积分次序，则积分区域可化为：
:0 1, arcsinD y y x
所以
1 1
sin 0 sin
2
( , ) ( , )
xarc y
dx f x y dy dy f x y dx
，所以选择(B).
(5)【答案】D
【详解】
'( ) 2 1.
( ) 160 2 80
Q P P
P P
Q P P P
需求弹性
若
1
80
P
P
，
80P P
，无意义；若
1
80
P
P
，解得：
40.P
所以选(D)
(6)【答案】D
【详解】因为
0 0
1
lim lim ln(1 )
x
x x
y e
x
0 0
1
lim limln(1 )
x
x x e
x
，
所以
0x
是一条铅直渐近线；
因为
1
lim lim ln(1 )
x
xx
y e
x
- -
1
lim lim ln(1 ) 0 0 0
x
x x e
x
，
所以
0y
是沿
x
方向的一条水平渐近线；
令
2
1ln(1 ) 1 ln(1 )
lim lim lim
xx
x x x
e
y e
x
ax x x x
2
1 ln(1 )
lim lim x
xx
e
x x
1
0 lim 1
1
x
x
x
e
e
洛必达法则
令
1
lim lim ln(1 )
x
x x
b y a x e x
x
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