2006年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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一、填空题
(1)【答案】1
【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有
( 1)n
，故求此数列的极限，分为奇数列和
偶数列两个部分进行。
记
( 1)
1
( ) n
n
n
un
，则
2
2 1 2 1
( 1)
lim lim ( ) lim ( ) 1
22 2
n
n n
unn n
n n n
2 1
2 2 1
( 1)
lim lim ( ) lim ( ) 1
2 1 2 1 2
n
n n
unn n
n n n
所以
lim 1un
n
.
(2)【答案】
3
2e
【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。利用题目已知的函数关系式进行求导便
可得出。
由
( )
( ) f x
f x e
，有
( ) ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( )
f x f x f x
f x e e f x e
所以
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( )
( ) ( ) (2 ( )) 2 ( ) 2
f x f x f x f x
f x e e f x e f x e
以
2x
代入，得
3 (2) 3
(2) 2 2
f
f e e
.
(3) 【答案】
4 2dx dy
【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法：
方法1：由微分形式不变性，有
2 2 2 2 2 2
(4 ) (4 ) (4 )(8 2 )dz f x y d x y f x y xdx ydy
(1,2) (0)(8 4 ) 4 - 2dz f dx dy dx dy
方法2： 求偏导数，
2 2
(4 ) 8 ,
zf x y x
x
2 2
(4 )( 2 )
y
zf x y y
.
以
1
1, 2, (0) 2
x y f
，代入
z z
dz dx dy
x y
便得如上结果.
2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
(4)【答案】
2
【详解】由已知条件
2BA B E
变形得，
2BA E B
( ) 2B A E E
,两边取行列
式,得
( ) 2 4 4B A E E E
其中，
2 1 1 0 1 1 2
1 2 0 1 1 1
A E
，
2
2 2 E 4E
因此，
242
2
E
BA E
.
(5)【答案】
1 9
【详解】根据独立性原理：若事件
1, , n
A A
独立，则
1 2 1 2
n n
P A A A P A P A P A
事件
max{ , } 1 1, 1 1 1X Y X Y X Y
，而随机变量
X
与
Y
均服
从区间
[0,3]
上的均匀分布，有
1
0
1 1
13 3
P X dx
和
1
0
1 1
13 3
P Y dy
.又随机变
量
X
与
Y
相互独立，所以，
max( , ) 1 1, 1 1 1P x y P x Y P x P Y
1 1
3 3
1
9
(6)【答案】
2.
【详解】样本方差是总体方差的无偏估计量
2
( ) ( )E S D X
，故只要计算
( )D X
即可.
X
概率密度函数
( )f x
是偶函数，则
( )xf x
为奇函数，所以
( ) ( ) 0E X x f x dx
所以
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) [ ( )] ( )E S D X E X E X E X
2 2
0
( ) 2 ( )x f x dx x f x dx
2
0
x
x e dx
2
0
x
x de
2 2
00
|
x x
x e e dx
2
00
| 2
x x
x e xde
2
0 0 0
| 2 | 2
xxx
x e xe e dx
0 0 2 0 ( 1)
2.
二、选择题
(7)【答案】
A
【详解】
方法1：图示法.
因为
( ) 0,f x
则
( )f x
严格单调增加；因为
( ) 0,f x
则
( )f x
是凹函数，又
0x
，画
2
( )
f x x
的图形
结合图形分析，就可以明显得出结论：
0dy y
.
方法2：用两次拉格朗日中值定理
0 0 0
( ) ( ) ( )y dy f x x f x f x x
(前两项用拉氏定理)
0
( ) ( )
f x f x x
(再用一次拉氏定理)
0
( )( )f x x
,其中
0 0 0
,
x x x x
由于
( ) 0f x
，从而
0y dy
.又由于
0
( ) 0dy f x x
，故选
A
方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式：
0 0 0
( ) ( ) ( )( )f x f x f x x x
( )
2
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
2! !
nn
n
f x f x
x x x x R
n
，
其中
( 1)
0
0
( ) ( )
( 1)!
n
n
n
f x
Rx x
n
.此时
n
取1代入，可得
2
0 0 0
1
( ) ( ) ( ) ( )( ) 0
2
y dy f x x f x f x x f x
又由
0
( ) 0dy f x x
，选
( )A
.
(8) 【答案】
C
【详解】题目考察该抽象函数在0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下：
换元令
2
x h
，由题设可得
2
2
00
( ) ( )
lim lim 1
hx
f h f x
h x
.
于是
0 0
( )
lim ( ) lim 1 0 0
xx
f x
f x x
x
因为函数
( )f x
在点
0x
处连续，故
0
(0) lim ( ) 0
x
f f x
，进而有
O x0x0+Δx x
y
y=f(x)Δy
dy
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