2005年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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2005 年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24 分.把答案填在题中横线上）
（1）极限
1
2
lim sin 2
x
x
x
x
= 2 .
【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.
【详解】
1
2
lim sin 2
x
x
x
x
=
.2
1
2
lim 2
x
x
x
x
（2）微分方程
0
xy y
满足初始条件
(1) 2y
的特解为
2xy
.
【分析】直接积分即可.
【详解】原方程可化为
( ) 0
xy
，积分得
xy C
，
代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.
（3）设二元函数
( 1)ln(1 )yz xe x
x y
，则
)0,1(
dz
edx e dy2 ( 2)
.
【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.
【详解】
ln(1 )ye xe
x
zx y x y
,
y
x
xe
y
zx y
1
1
,
于是
)0,1(
dz
edx e dy2 ( 2)
.
（4）设行向量组
)1,1,1,2(
，
(2,1, , )a a
，
(3,2,1, )a
，
)1,2,3,4(
线性相关，且
1a
，则a=
2
1
.
【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.
【详解】 由题设，有
4 3 2 1
321
2 1
2 1 1 1
a
a a
( 1)(2 1) 0 a a
,得
2
1
,1 a a
，但题设
1a
，故
.
2
1
a
（5）从数1,2,3,4 中任取一个数，记为X, 再从
X1,2, ,
中任取一个数，记为Y, 则
{ 2}
P Y
=
48
13
.
【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即
为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】
{ 2}P Y
=
{ 1} { 2 1} P X P Y X
+
{ 2} { 2 2} P X P Y X
- 2 -
+
{ 3} { 2 3}
P X P Y X
+
{ 4} { 2 4}
P X P Y X
=
.
48
13
)
4
1
3
1
2
1
(0
4
1
（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为
X Y 0 1
0 0.4 a
1 b 0.1
已知随机事件
{ 0}X
与
{ 1} X Y
相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 .
【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定
a,b 的取值.
【详解】由题设，知 a+b=0.5
又事件
{ 0}
X
与
{ 1}
X Y
相互独立，于是有
{ 0, 1} { 0} { 1}
P X X Y P X P X Y
，
即a=
(0.4 )( )a a b
,由此可解得 a=0.4, b=0.1
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a取下列哪个值时，函数
f x x x x a
( ) 2 9 12
3 2
恰好有两个不同的零点.
(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]
【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极
值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.
【详解】
( ) 6 18 12
2
f x x x
=
6( 1)( 2) x x
，知可能极值点为x=1,x=2，且
f a f a (1) 5 , (2) 4
，可见当a=4 时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).
（8）设
x y dI
D
2 2
1cos
,
x y dI
D
)cos( 2 2
2
,
x y dI
D
2 2 2
3)cos(
,其中
1}{( , ) 2 2
D x y x y
，则
(A)
3 2 1
I I I
.（B）
1 2 3
I I I
.
(C)
2 1 3
I I I
. (D)
3 1 2
I I I
. [ A ]
【分析】关键在于比较
2 2
x y
、
2 2
x y
与
2 2 2
( )
x y
在区域
1}{( , ) 2 2
D x y x y
上的大小.
【详解】 在区域
1}{( , ) 2 2
D x y x y
上，有
10 2 2
x y
，从而有
2 2
1
2x y
2 2
x y
( ) 0
2 2 2
x y
- 3 -
由于cosx 在
)
2
,0(
上为单调减函数，于是
2 2
0 cos x y
)cos( 2 2
x y
2 2 2
)
cos(x y
因此
x y d
D
2 2
cos
x y d
D
)cos( 2 2
x y d
D
2 2 2
)cos(
，故应选(A).
（9）设
0, 1,2, ,
a n
n
若
1n
n
a
发散，
1
1
( 1)
n
n
na
收敛，则下列结论正确的是
(A)
1
2 1
n
n
a
收敛，
1
2
n
n
a
发散.（B）
1
2
n
n
a
收敛，
1
2 1
n
n
a
发散.
(C)
( )
1
2 1 2
n
nn
a a
收敛. (D)
( )
1
2 1 2
n
nn
a a
收敛. [ D ]
【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案.
【详解】 取
n
an
1
，则
1n
n
a
发散，
1
1
( 1)
n
n
na
收敛，
但
1
2 1
n
n
a
与
1
2
n
n
a
均发散，排除(A),(B)选项，且
( )
1
2 1 2
n
nn
a a
发散，进一步排除(C), 故应选(D).
事实上，级数
( )
1
2 1 2
n
nn
a a
的部分和数列极限存在.
（10）设
f x x x x( ) sin cos
,下列命题中正确的是
(A) f(0)是极大值，
)
2
(
f
是极小值.（B）f(0)是极小值，
)
2
(
f
是极大值.
（C）f(0)是极大值，
)
2
(
f
也是极大值. (D) f(0)是极小值，
)
2
(
f
也是极小值.
[ B ]
【分析】先求出
( ), ( )f x f x
，再用取极值的充分条件判断即可.
【详解】
f x x x x x x x( ) sin cos sin cos
，显然
) 0
2
(0) 0, (
f f
，
又
f x x x x( ) cos sin
，且
0
2
)
2
(0) 1 0, (
ff
，故f(0)是极小值，
)
2
(
f
是极大值，
应选(B).
（11）以下四个命题中，正确的是
(A) 若
( )f x
在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
（B）若
( )f x
在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
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