2004年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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2004 年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24 分.把答案填在题中横线上）
(1) 若
(cos ) 5
sin
lim
0
x b
e a
x
x
x
，则a=
1
，b=
4
.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为
(cos ) 5
sin
lim
0
x b
e a
x
x
x
，且
lim sin (cos ) 0
0
x x b
x
，所以
lim( ) 0
0
e a
x
x
，得a= 1. 极限化为
(cos ) lim (cos ) 1 5
sin
lim 0
0
x b b
x
x
x b
e a
x
x
x
x
，得b=4.
因此，a= 1，b=4.
【评注】一般地，已知
( )
( )
lim g x
f x
＝A，
(1) 若g(x)0，则f(x)0；
(2) 若f(x)0，且A0，则g(x)0.
(2) 设函数f(u,v)由关系式f[xg(y) , y] = x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)0，
则
( )
( )
2
2
g v
g v
u v
f
.
【分析】令u=xg(y)，v=y，可得到f(u,v)的表达式，再求偏导数即可.
【详解】令u=xg(y)，v=y，则f(u,v) =
( )
( ) g v
g v
u
，
所以，
( )
1
u g v
f
，
( )
( )
2
2
g v
g v
u v
f
.
(3) 设
2
1
1 ,
2
1
2
1
,
( )
2
x
xxe
f x
x
，则
2
1
( 1)
2
2
1
f x dx
.
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x1 = t，再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x1 = t，
1
2
1
1
2
1
2
2
1( 1) ( ) ( )
f x dx f t dt f x dt
＝
2
1
)
2
1
( 1) 0 (
1
2
1
2
1
2
1
2
dxxe dx
x
.
- 2 -
【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.
(4) 二次型
2
3 1
2
2 3
2
1 21 2 3
( , , ) ( ) ( ) ( )
f x x x x x x x x x
的秩为 2 .
【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换
或配方法均可得到答案.
【详解一】因为
2
3 1
2
2 3
2
1 2 3 1 2
( , , ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x
1 2 1 3 2 3
2
3
2
2
2
1
2 2 2 2 2 2x x x x x x x x x
于是二次型的矩阵为
1 1 2
1 2 1
2 1 1
A
,
由初等变换得
0 0 0
0 3 3
1 1 2
0 3 3
0 3 3
1 1 2
A
,
从而
( ) 2
r A
,即二次型的秩为2.
【详解二】因为
2
3 1
2
2 3
2
1 2 3 1 2
( , , ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x
1 2 1 3 2 3
2
3
2
2
2
1
2 2 2 2 2 2x x x x x x x x x
2
2 3
2
3
21 ( )
2
3
)
2
1
2
1
2(x x x x x
2
2
2
12
3
2y y
,
其中
,
2
1
2
1
32
1 1
y x x x
2 2 3
y x x
.
所以二次型的秩为2.
(5) 设随机变量
X
服从参数为
λ
的指数分布,则
}
{P X DX
e
1
.
【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】由于
2
1
λ
DX
,
X
的分布函数为
0, 0.
1 , 0,
( ) x
e x
F x
λx
故
}{P X DX
}1 {P X DX
}
1
1 { λ
P X
)
1
1 ( λ
F
e
1
.
【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.
(6) 设总体
X
服从正态分布
( , )
2
1
N μ σ
,总体
Y
服从正态分布
( , )
2
2
N μ σ
,
- 3 -
1
, ,
1 2 n
X X X
和
2
, ,
1 2 n
Y Y Y
分别是来自总体
X
和
Y
的简单随机样本,则
2
1 2
2
1
2
1
2
( ) ( )
21
σ
n n
X X Y Y
E
n
j
j
n
i
i
.
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
【详解】因为
2
1
2
1
( ) ]
1
1
[1X X σ
n
En
i
i
,
2
1
2
2
( ) ]
1
1
[2Y Y σ
n
En
j
j
,
故应填
2
σ
.
【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内）
(7) 函数
2
( 1)( 2)
| | sin( 2)
( )
x x x
x x
f x
在下列哪个区间内有界.
(A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ]
【分析】如f(x)在(a,b)内连续，且极限
lim ( )
f x
x a
与
lim ( )
f x
x b
存在，则函数f(x)
在(a,b)内有界.
【详解】当x0 , 1 , 2 时，f(x)连续，而
18
sin3
lim ( )
1
f x
x
，
4
sin 2
lim ( )
0
f x
x
，
4
sin 2
lim ( )
0
f x
x
，
lim ( )
1f x
x
，
lim ( )
2f x
x
，
所以，函数f(x)在(1 , 0)内有界，故选(A).
【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在闭区间[a,b]上有界；如函数f(x)在开区间(a,
b)内连续，且极限
lim ( )f x
x a
与
lim ( )f x
x b
存在，则函数f(x)在开区间(a,b)内有界.
(8) 设f(x)在( , +)内有定义，且
f x a
x
lim ( )
，
0 , 0
) , 0
1
(
( ) x
x
x
f
g x
，则
(A) x= 0 必是g(x)的第一类间断点. (B) x= 0 必是g(x)的第二类间断点.
(C) x= 0 必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x= 0 处的连续性与a的取值有关.[ D ]
【分析】考查极限
lim ( )
0g x
x
是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元
x
u1
，
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