2003年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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2003 年考研数学（三）真题答案
1. 【分析】当
x
0可直接按公式求导，当x=0 时要求用定义求导.
【详解】 当
1
时，有
,0
,0
,0
,
1
sin
1
cos
( ) 21
x
x
x
x
x
x
f x 若若
显然当
2
时，有
lim ( ) 0 (0)
0f x f
x
，即其导函数在x=0 处连续.
2. 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y = ′0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，
再根据在切点处纵坐标为零，即可找到
2
b
与a的关系.
【详解】 由题设，在切点处有
3 3 0
2 2
y x a
，有
.
2 2
0
x a
又在此点y坐标为0，于是有
00 3 0
3 2
0
x a x b
,
故
(3 ) 4 4 .
2 2 2 4 6
0
2 2
0
2
b x a x a a a
3. 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当0 ≤x ≤1,0 ≤y −x ≤1时，被积函数才
不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.
【详解】
D
I f x g y x dxdy
( ) ( )
=
a dxdy
x y x
0 1,0 1
2
=
[( 1) ] .
2
1
0
2
1
0
1
2
a dx dy a x x dx a
x
x
4. 【分析】 这里
αα
T 为 n 阶矩阵，而
α
T =
α
2a2 为数，直接通过 AB =E 进行计算
并注意利用乘法的结合律即可.
【详解】 由题设，有
)
1
( )( T
T
a
AB E E
=
T TT
T
a a
E
1 1
=
T TT
T
a a
E
( )
1 1
=
TTT a
a
E
2
1
=
E
a
E a T
)
1
( 1 2
,
于是有
0
1
1 2
a
a
，即
2 1 0
2 a a
，解得
, 1.
2
1
a a
由于A<0 ,故a=-1.
5.. 【分析】 利用相关系数的计算公式即可.
【详解】 因为
cov( , ) cov( , 0.4) [( ( 0.4)] ( ) ( 0.4) E Y E XE Y XY Z Y X
=
( ) 0.4 ( ) ( ) ( ) 0.4 ( )E XY E Y E Y E X E Y
=E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y),
且
.
DZ DX
于是有 cov(Y,Z)=
DY DZ
Y Z
cov( , )
=
0.9.
cov( , )
XY
DX DY
X Y
【评注】 注意以下运算公式：D(X +a) =DX ，cov(X ,Y +a) =cov(X ,Y ).
6.. 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量
n
X X X
, , ,
1 2
，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：
( ).
1 1
11
EX n
n
X
n
n
i
i
p
n
i
i
【详解】 这里
22
2
2
1, , , n
X X X
满足大数定律的条件，且
22 ( )
ii
i
EX DX EX
=
2
1
)
2
1
(
4
12
，因此根据大数定律有
n
i
in X
n
Y
1
2
1
依概率收敛于
.
2
1
1
1
2
n
i
i
EX
n
二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
7. 【分析】由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0 处的导数定义进行讨论即可.
【详解】 显然x=0 为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.
于是有
(0)
0
( ) (0)
lim
( )
lim ( ) lim 00
0f
x
f x f
x
f x
g x xx
x
存在，故x=0 为可去间断点.
【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=
,0
,0
,0
,1
x
x
x
x
可排除
(A),(B),(C) 三项，故应选(D).
【评注2】若f(x)在
0
x x
处连续，则
( ) 0, ( ) .
( )
lim 00
0
0
A f x f x A
x x
f x
x x
.
8.. 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.
【详解】 可微函数f(x,y)在点
( , )
0 0
x y
取得极小值，根据取极值的必要条件知
( , ) 0
0 0
f x y
y
，即
( , )
0
f x y
在
0
y y
处的导数等于零,故应选(A).
【评注1】本题考查了偏导数的定义，
( , )
0
f x y
在
0
y y
处的导数即
( , )
0 0
f x y
y
；而
( , )
0
f x y
在
0
x x
处的导数即
( , ).
0 0
f x y
x
【评注2】本题也可用排除法分析，取
2 2
( , )f x y x y
，在(0,0)处可微且取得极小
值，并且有
2
(0, )f y y
，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).
9. 【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.
【详解】 若
1n
n
a
绝对收敛，即
1n
n
a
收敛，当然也有级数
1n
n
a
收敛，再根据
2
n n
n
a a
p
，
2
n n
n
a a
q
及收敛级数的运算性质知，
1n
n
p
与
1n
n
q
都收敛，故应选
(B).
10.. 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件.
【详解】 根据 A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有
( 2 )( ) 0
2
a b a b
b b a
b a b
a b b
，即有
2 0 a b
或a=b.
但当a=b 时，显然秩(A)
2
,故必有a
b且a+2b=0. 应选(C).
【评注】n（n
)2
阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：
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