2002年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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1
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
(1)【答案】
1
1 2a
【详解】
ln“”
里面为
1
“”
型，通过凑成重要极限形式来求极限，
1
(1 2 ) 1 2
2 1 1
limln limln 1
(1 2 ) (1 2 )
nn a a
n n
n na
n a n a
(1 2 )
11
lim ln 1
1 2 (1 2 )
n a
na n a
1 1
ln
1 2 1 2
e
a a
．
(2)【答案】
2
1
2
0( , )
x
x
dx f x y dy
【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域
1
D
与
2
D
，将它们的并集记为
D
．
于是
1 1 1
42 2
1
04
( , ) ( , )
y
y y
dy f x y dx dy f x y dx
( , )
D
f x y d
．
再将后者根据积分定义化为如下形式，即
2
1
02
x y x x
从 ，从
，所以
2
1
2
0
( , ) ( , ) .
x
x
D
f x y d dx f x y dy
(3)【答案】
1
【详解】
1 2 2
2 1 2 1 2 3 ,
3 0 4 1 3 4
a a
Aa
a
由于
A
与
线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有
2
2 3 3 4
1 1
a a a
a
，得
2 3 3 4, 1.a a a
或
,( 0)A k k
(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)
即
2 3 1
3 4 1
a a
a k
a
，得
2 3
3 4
a ka
a k
a k
，得
1.( 1)a k
(4)【答案】
0.02
．
【详解】
2
X
、
2
Y
和
2
X
2
Y
都是
0 1
分布，而
0 1
分布的期望值恰为取
1
时的概率
p
．
由离散型随机变量
X
和
Y
的联合概率分布表可得
2
X
的可能取值为0和1，且
2
Y
的可
能取值也为0和1，且
X
和
Y
的边缘分布为
0 0.07 0.18 0.15 0.4P X
；
1 0.08 0.32 0.20 0.6P X
；
1 0.07 0.08 0.15P Y
；
0 0.18 0.32 0.5P Y
；
1 0.15 0.20 0.35P Y
；
故有
X
0
1
0.4
0.6
Y
1
0
1
0.15
0.5
0.35
2 2
0, 0 0, 0 0.18,P X Y P X Y
2 2
0, 1 0, 1 0, 1 0.07 0.15 0.22,P X Y P X Y P X Y
2 2
1, 0 1, 0 0.32,
P X Y P X Y
2 2
1, 1 1, 1 1, 1 0.08 0.20 0.28,P X Y P X Y P X Y
而边缘分布律：
20 0 0.4
P X P X
，
21 1 0.6
P X P X
，
20 0 0.5
P Y P Y
，
21 1 1 0.15 0.35 0.5
P Y P Y P Y
所以，
2 2
( , )X Y
的联合分布及其边缘分布为
3
2
Y
2
X
0
1
0
0．18
0．22
0．40
1
0．32
0．28
0．60
0．50
0．50
1
由上表同理可求得
2 2
X Y
的分布律为
2 2
X Y
0
1
P
0．72
0．28
所以由
0 1
分布的期望值恰为取1时的概率
p
得到：
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) 0.5 ( ) 0.60, ( 0.28
cov ( ) ( ) 0.28 0.6 0.5 0.02
E X E Y E X Y
X Y E X Y E X E Y
， ）
（ ，）（ ）
(5)【答案】
1X
．
【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只
需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)
期望
( )
( ) ( ) 1
x
E X xf x dx xe dx
样本均值
1
1n
i
i
X X
n
用样本均值估计期望有
EX X
，即
1
1
1n
i
i
X
n
，
解得未知参数
的矩估计量为
1
1
ˆ1 1
n
i
i
X X
n
．
二、选择题
(1)【答案】(B)
【详解】方法1：论证法．由题设
( )f x
在开区间
( , )a b
内可导，所以
( )f x
在
( , )a b
内连续，
因此，对于
( , )a b
内的任意一点
，必有
lim ( ) ( ).
xf x f
即有
lim[ ( ) ( )] 0
xf x f
．故
选(B)．
方法2：排除法．
(A)的反例：
1 ( , ]
( ) 1
x a b
f x x a
，有
( ) 1, ( ) 1, ( ) ( ) 1 0f a f b f a f b
，
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