2001年数学三考研真题答案解析
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1
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
(1)【答案】
【使用概念】设
y f x
在
x
处可导，且
0f x
，则函数
y
关于
x
的弹性在
x
处的值为
Ey x x
y f x
Ex y f x
【详解】由
Q AL K
，当
1Q
时，即
1AL K
，有
1
,K A L
于是
K
关于
L
的弹
性为：
EK
EL
LK
K
1
1
d A L
L
dL
A L
11
1
A L
L
A L
(2)【答案】
1
1.2 2
t
W
【详解】
t
W
表示第t年的工资总额，则
1t
W
表示第
1t
年的工资总额，再根据每年的工资总
额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得
t
W
满足的差分方程是：
1 1
(1 20 ) 2 1.2 2
tt t
W W W
(3)【答案】-3
【详解】
方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对
A
进行
初等变换
111
1 1 1
1 1 1
111
k
k
Ak
k
111
1 1 0 0
1 ( 1) 2,3,4 1 0 1 0
1 0 0 1
k
k k
k k
k k
行 分别加到 行
2
3 1 1 1
0 1 0 0
2,3,4 0 0 1 0
0 0 0 1
k
k
k
k
列分别加到1列
可见只有当k=−3时，r(A)=3.故k=−3.
方法2：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式
0A
.由
111
1 1 1
1 1 1
111
k
k
Ak
k
111
1 1 0 0
1 ( 1) 2,3,4 1 0 1 0
1 0 0 1
k
k k
k k
k k
行 分别加到 行
3 1 1 1
0 1 0 0
2,3,4 0 0 1 0
0 0 0 1
k
k
k
k
列分别加到1列
3
( 3)( 1) 0,
k k
解得k=1或k= −3. 当k=1时，
1111
1111
1111
1111
A
1111
0000
1 ( 1) 2 3 4 0000
0000
行 分别加到，，行
可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一定有k=−3.
(4)【答案】
1
12
【所用概念性质】切比雪夫不等式为：
2
( )
( ) D X
P X E X
期望和方差的性质：
( )E X Y EX EY
；
( ) 2cov( , )D X Y DX X Y DY
【详解】把
X Y
看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.
故
( ) 2 2 0E X Y EX EY
又相关系数的定义：
cov( , )
( , ) X Y
X Y DX DY
则
cov( , ) ( , ) ( 0.5) 1 4 1X Y X Y DX DY
( ) 2cov( , ) 1 2 ( 1) 4 3D X Y DX X Y DY
所以由切比雪夫不等式：
3
2
( ) 3 1
6 ( ) 6 6 36 12
D X Y
P X Y P X Y E X Y
(5)【答案】
F
；
(10,5)
【所用概念】1.
F
分布的定义：
1
2
Xn
FYn
其中
2
1
~ ( )X n
2
2
~ ( )Y n
2.
2
分布的定义：若
1, , n
Z Z
相互独立，且都服从标准正态分布
(0,1)N
，则
2 2
1
~ ( )
n
i
i
Z n
3. 正态分布标准化的定义：若
2
~ ( , )Z N u
，则
~ (0,1)
Z u N
【详解】因为
2
(0,2 ) 1,2, ,15
i
X N i
，将其标准化有
0(0,1)
2 2
ii
X X N
，从而根
据卡方分布的定义
2 2
2 2
22
10 15
111
(10), (5),
2 2 2 2
XX
X X
由样本的独立性可知，
2
2
10
1
2 2
X
X
与
2
2
15
11
2 2
X
X
相互独立.
故，根据
F
分布的定义
2
2
10
1
2 2
1 10
222
2
11 15
15
11
2 2
10 (10,5).
2
2 2
5
X
X
X X
Y F
X X
X
X
故
Y
服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的
F
分布.
二、选择题
(1)【答案】[ B]
【详解】
方法1：由
'( )
lim 1,
x a
f x
x a
知
lim '( )
x a f x
'( )
lim
x a
f x x a
x a
'( )
lim lim
x a x a
f x x a
x a
1 0
0
又函数
( )f x
的导数在
x a
处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右
极限等于函数在这一点的值，所以
( ) 0f a
，于是有
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