2000年数学三考研真题答案解析
2023-12-01
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1
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
(1)【答案】
1 2 2
1zy
yf f g
x y x
【详解】根据复合函数的求导公式，有
1 2 2
1
' ' '
zy
f y f g
xy x
(2)【答案】
4e
【详解】被积函数的分母中含有
2x x
e e
，且当
x
时，
2x x
e e
，即被积函数
属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷.
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
1
xx
x x x x
x
x
dx dx e dx de
e
e e e e e e
ee
2
21
1 1
1
x
xde
ee
e
2
21
1
1
x
x
e e
d
e e
e
e
1
1arctan x
e
e e
1( )
2 4e
4e
(3)【答案】24
【详解】
方法1：
A B A B、
有相同的特征值：
1 1 1 1
2345.
，，，
由矩阵
1
B
是矩阵
B
的逆矩阵，他们
所有特征值具有倒数的关系，得
1
B
有特征值
2345, , , ,
由
B
特征局矩阵为
E B
，
1
B E
得特征矩阵为
1 1
1
E B E E B
可以看出
B
与
1
B E
的特
征值相差1，所以
1
B E
有特征值
1 2 3 4, , , .
由矩阵的行列式等于其特征值得乘积，所
有特征值的和等于矩阵主对角元素之和，知
4
1
1
1 2 3 4 24
i
i
B E .
方法2：
A B
即存在可逆阵
P
，使得
1
P AP B
.两边求逆得
1 1 1
B P A P
.又
A
有四
个不同的特征值，存在可逆矩阵
Q
，使
2
1
Q AQ
，其中
1
2
1
3
1
4
1
5
上式两边求逆得
1 1 1
2
3
4
5
Q A Q
，
1 1 1
A Q Q
从而有
1 1 1 1 1 1 1
11
2 1
3 1 24
4 1
51
B E P A P E P A E P Q Q E
Q E Q
(4)【答案】
1,3 .
【详解】在给定概率密度条件下，有性质
2
1
12( ) .
x
x
P x X x f x dx
因此，
( )
k
P X k f x dx
(或
1 1 ( ) .
k
P X k P X k f x dx
)
因为
[0,1]x
时，
1
( ) 3
f x
；
[3,6]x
时，
2
( ) 9
f x
都是定值，因为
21
3
P X k
，
所以
k
最可能的取值区间是包含在
0,6
区间之内的
1,3
区间，否则是不可能的.
当
1 3k
时，
2 2
( ) (6 3) .
9 3
k
P X k f x dx
(或者，当
1 3k
时，
1 1
( ) (1 0) ,
3 3
k
P X k f x dx
1 2
11 .
3 3
P X k P X k
)
所以，答案应该填
1 3k
或
1,3 .
(5)【答案】
8.
9
【详解】由于题中
Y
是离散型随机变量，其所取值的概率分别为
0 , 0P X P X
和
3
0P X
.又由于
X
是均匀分布，所以可以直接得出这些概率，从而实现由
X
的概率计算
过渡到
Y
的概率.
0 ( 1) 1
1 0 ;
3 3
P Y P X
0 0 0;P Y P X
2 0 2
1 0 .
3 3
P Y P X
因此
1 2 1
( ) 1 1 ,
3 3 3
E Y
2
2 2
1 2 1 2
( ) 1 1 1,
3 3 3 3
E Y
所以
2
21 8
( ) ( ) ( ) 1 .
9 9
D Y E Y E Y
二、选择题
(1)【答案】D
【详解】用排除法.
例1：设
2 2
2 2
1
( )
22
x x
f x
x x
,满足条件
2 2
2 2 2
1 1
lim lim 0
2 2 2
xx
x x
x x x
,并且
2 2
2 2
1
lim 1, 1
2 2
x
x x
x x
,
由夹逼准则知，
lim ( ) 1
xf x
，则选项
( )A
与
( )C
错误.
例2：设
6 2 6 2
4 4
2
( )
1 1
x x x x
f x
x x
,满足条件
6 2 6 2 2
4 4 4
2
lim lim 0
1 1 1
x x
x x x x x
x x x
,
但是由于
6 2 2
4
( ) 1
x x
f x x
x
,
有
lim ( )
xf x
，极限不存在，故不选
( )B
,所以选
( )D
.
因为最终结论是“
( )D
：不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样”“可以那样”，无法给
出相应的证明.
(2)【答案】B
【详解】方法1：排除法，用找反例的方式
( )A
：
2
( )f x x
,满足
(0) 0 (0) 0f f
且
,但
2
( )f x x
在
0x
处可导；
( )C
：
( ) 1f x x
,满足
(0) 1 0, (0) 1 0f f
,但
( ) 1
f x x
当
1,1x
,在
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