1999年数学三考研真题答案解析
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1
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
(1)【答案】
41
【详解】由题设可知
2
sin cos sin
( ) ( )
x x x x
f x x x
.由分部积分法，得
2
222
( ) ( ) ( ) ( )
xf x dx xdf x xf x f x dx
2 2
cos sin sin 2 2 4
1 1
x x x x
x x
(2)【答案】4
【详解】考虑幂级数
1
1
n
n
nx
，由
1
lim 1
n
n
n
可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间
为
( 1,1)
，则
1( 1,1)
2
x
.记
1
1
( ) n
n
S x nx
，两边从
0
到
x
积分，得
1 1
0 0 0
1 1 1
( ) ( ) , ( 1,1)
1
x x x
nn n
n n n
x
S x dx nx dx nx dx x x
x
所以
2
1
( ) ( ) , ( 1,1)
1 (1 )
x
S x x
x x
所以
1
2
1
1 1 1
( ) ( ) 4
1
2 2 (1 )
2
n
n
S n
(3) 【答案】
O
【详解】
1 0 1
0 2 0
1 0 1
A
，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要
乘以该数，有
2
1 0 1 1 0 1 2 0 2 1 0 1
0 2 0 0 2 0 0 4 0 2 0 2 0 2
1 0 1 1 0 1 2 0 2 1 0 1
A A
故有
1 2 2
2 ( 2 )
n n n
A A A A A O
2
或由
22A A
，式子左右两端同右乘
2n
A
，得
2 2 2
2
nn
A A A A
，即
1
2
n n
A A
，
得
1
2
n n
A A O
或由
22A A
，式子左右两端同右乘
A
，得
2 3 2 2
(2 ) 2 2(2 ) 2A A A A A A A A
，
式子左右两端再同乘
A
，得
3 4 2 3 2 3
(2 ) 2 2 2 2A A A A A A A A
，…，依次类推，
得
1 2 1
2 , 2 ,
n n n n
A A A A
所以
1 1 2 1 1
2 2 2 2 2 2
n n n n n n
A A A A A A O
(4)【答案】
16
【概念和性质】(1) 独立正态随机变量的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍
服从正态分布；
(2) 期望的性质：
( )E aX bY aEX bEY
，
Ec c
(其中
, ,abc
为常数)；
(3) 方差的性质:
2
( ) ( )D cX c D X
；若
X Y和
独立，则
( )D X Y DX DY
(4) 正态分布标准化：若
2
~ ( , )
Z N u
，则
~ (0,1)
Z u N
【详解】由题知：
2
1 2
, , ( ,0.2 )
n
X X X N a
，
1
1n
ni
i
X X
n
，且
1 2
, , n
X X X
相互独立，
故
2
1
1~ ( , )
n
ni
i
X X N
n
，其中
n
EX
，
2
n
DX
所以
1 1
1 1
nn
n i i
i i
na
EX E X EX a
n n n
2 2
2
22 2
1 1 1
1 1 1 0.2 0.2
n n n
n i i i
i i i
n
DX D X D X DX
n n n n n
所以
2
1
10.2
~ ( , )
n
ni
i
X X N a
n n
，标准化得
~ (0,1)
0.2/
n
X a
U N
n
则只需将
0.1 0.95
n
P X a
中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：
0.1 0.95 0.95
2
0.2/ 0.2/
n
X a n
P P U
n n
因
~ (0,1)
0.2/
n
X a
UN
n
，查标准正态分布表知
1.96 0.95P U
3
所以
1.96
2
n
，解得
15.3664n
.因
n
为整数，所以
n
最小为16.
(5)【答案】
0EY
【概念和性质】(1)
E X Y EX EY
；(2)若
X和Y
独立，则有
EXY EXEY
【详解】由行列式的定义知，行列式是由
2
n
个元素
ij
X
的乘积组成的
!n
项和式，每一项都
是
n
个元素的乘积
1 2
1 2 n
j j nj
X X X
，这
n
个元素取自行列式中不同行和不同列，在这全部
!n
项中每项都带有正号或负号.
由于随机变量
, 1,2, , ; 2
ij
X i j n n
独立，所以有
1 2 1 2
1 2 1 2
( )
n n
j j nj j j nj
E X X X EX EX EX
所以前面无论取正号或者负号，对和式的期望等于各项期望之和.即有
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
EX EX EX
EX EX EX
EY
EX EX EX
而
, 1,2, , ; 2
ij
X i j n n
同分布，且
2
ij
EX
所以
11 12 1
21 22 2
1 2
2 2 2
2 2 2 0
2 2 2
n
n
n n nn
EX EX EX
EX EX EX
EY
EX EX EX
(行列式的性质：若行列式两
行(列)成比例，则行列式为0).
二、选择题
(1)【答案】( A )
【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.
( )f x
的原函数
( )F x
可以表示为
0
( ) ( ) ,
x
F x f t dt C
于是
0 0
( ) ( ) ( ) .
u t
x x
F x f t dt C f u d u C
当
( )f x
为奇函数时，
( ) ( )f u f u
，从而有
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
x x
F x f u du C f t dt C F x
即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.
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